（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第5章 第01讲 导数的概念与运算 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
题型一：导数的定义
【例1】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知，即.故选：D
【变式1-1】已知函数的导函数是，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为，所以故选：B
【变式1-2】若函数在处可导，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由导数定义可得，所以．故选：A．
【解题方法总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．
题型二：求函数的导数
【例2】求下列函数的导数：
(1)； (2)； (3)．
【解析】（1）.
（2）.
（3），
故.
【变式2-1】在等比数列中，，函数，则______．
【答案】
【解析】因为
，所以．
因为数列为等比数列，所以，于是．故答案为：
【变式2-2】已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.
【答案】
【解析】由题意可知，令，则，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.故答案为：.
【变式2-3】已知函数的导函数为，且，则______．
【答案】
【解析】因为，则，故，故．
故答案为：.
【变式2-4】已知函数，则__________.
【答案】-2
【解析】由函数求导得：，当时，，解得，因此，，所以.故答案为：-2
【解题方法总结】
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
题型三：导数的几何意义
方向1、在点P处切线
【例3】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】函数的导函数为，所以函数在处的导数值，
所以曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：.
【变式3-1】曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为，所以 ，则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：.
【变式3-2】已知函数，为的导函数.若的图象关于直线x＝1对称，则曲线在点处的切线方程为______
【答案】
【解析】，令，，则，
令，，解得x＝2k＋1，，当k＝0时，x＝1，所以直线x＝1为的一条对称轴，
故的图象也关于直线x＝1对称，则有，解得b＝－1，
则，，，，
故切线方程为.故答案为；.
方向2、过点P的切线
【变式3-3】已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是______．
【答案】
【解析】由题意可得，设该切线方程，且与相切于点，
，整理得，∴，可得，∴.故答案为：.
【变式3-4】已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，设切点为，则切线斜率为，所以，过的切线方程为，综上，，即，
所以有三个不同值使方程成立，
即与有三个不同交点，而，
故、上，递减，上，递增；
所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点，
综上，的取值范围是.故答案为：
【变式3-5】过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．
【答案】，，，只需写出一个答案即可
【解析】设切点为，因为，所以切线方程为．
因为切线经过点，所以，由题意关于的方程没有实数解，则，解得．因为为整数，所以的取值可能是，，.
故答案为：，，，只需写出一个答案即可
【变式3-6】过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
【答案】或
【解析】由可得，设切点坐标为，所以切线斜率，又因为，则切线方程为，把代入并整理可得，解得或.故答案为：或
【变式3-7】已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．
【答案】或
【解析】设切点为，由，得，
∴，得，∴，，
∴切点为，，
∴曲线在点M处的切线方程为①，
又∵该切线过点，∴，解得或．
将代入①得切线方程为；将代入①得切线方程为，即．
∴曲线过点的切线方程为或．故答案为：或
方向3、公切线
【变式3-8】若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数，可得，因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，与联立可得，
所以，整理可得，又由，可得，解得，
令，其中，可得，令，可得，函数在上单调递增，且，当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为.
故选：A.
【变式3-9】若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.
【答案】1
【解析】设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，
设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，
则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，因此点关于直线对称，从而，，所以．故答案为：1.
【变式3-10】已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．
【答案】
【解析】设曲线和曲线在公共点处的切线相同，则，
由题意知，即，解得，故切点为，切线斜率为，所以切线方程为，即，故答案为：
方向4、已知切线求参数问题
【变式3-11】若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.
【答案】
【解析】设切线切点为，因，则切线方程为：.
因过，则，由题函数图象
与直线有两个交点.，得在上单调递增，在上单调递减.
又，，.据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.故答案为：
【变式3-12】若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】设切点坐标为，因为，所以，故切线的斜率为：，
，则.又由于切点在切线与曲线上，
所以，所以.
令，则，设，，令得：，
所以当时，，是增函数；当时，，是减函数.
所以.所以的最大值为：1.故选：B.
【变式3-13】已知偶函数在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为是偶函数，所以，即；
由题意可得：，所以.故选：A
【变式3-14】已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，且，因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，所以，对任意的恒成立，则，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，，解得.故选：B.
【变式3-15】已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】对求导得，由得，则，即，
所以，当且仅当时取等号．故选：D．
方向5、切线的条数问题
【变式3-16】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，
所以，故选：B．
【变式3-17】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图像知，即.故选：D.
方向6、切线平行、垂直、重合问题
【变式3-18】若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．故选：A
【变式3-19】已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（ ）
A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3
【答案】B
【解析】设，由得，
由题意，因为，则有．
把代入得，
由题意都是此方程的解，即①，
，化简为②，
把①代入②并化简得，即，，
当时，①②两式相同，说明，舍去．所以．故选：B．
【变式3-20】若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数在和的切线互相垂直，则，即①，因为a一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，，
所以方程①变为，所以，故A，B，D错误.故选：C.
方向7、最值问题
【变式3-21】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】与互为反函数，其图像关于直线对称，先求出曲线上的点到直线的最小距离．设与直线平行且与曲线相切的切点，．，，解得．．得到切点，点P到直线的距离．最小值为．
故选：B．
【变式3-22】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与互为反函数，它们图像关于直线对称；故可先求点P到直线的最近距离d，又，当曲线上切线的斜率时，得，，
则切点到直线的距离为，所以的最小值为．故选：D．
【变式3-23】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与互为反函数，所以与的图像关于直线对称，
设，则，令得，则当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以与无交点，则与也无交点，下面求出曲线上的点到直线的最小距离，设与直线平行且与曲线相切的切点，，，，解得，
，得到切点，到直线的距离，的最小值为，故选：D．
【变式3-24】已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，又，
表示点与曲线上的点之间的距离；
点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离；令，则，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即为点到直线的距离，的最小值为.故选：B.
【变式3-25】若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，所以，切线斜率为，由题知得或（舍），所以，，此时点到直线距离.故选：C
第01讲 导数的概念与运算
1．已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是偶函数，所以，
所以，故，又，所以，，故曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.
2．已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，，∴，由题意知，，解得：，
又∵M在上，∴，解得：，∴，∴.故选：B.
3．已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（ ）
A． B．2 C．±2 D．
【答案】D
【解析】因为，所以.因为，所以的图象在处的切线方程为.因为切线与坐标轴能围成三角形，所以，令，得，令，得，
所以，所以.故选：D
4．设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
【答案】C
【解析】.故曲线在点处的切线斜率为.故选：C
5．若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，设过原点的切线与曲线在处相切，所以切线的斜率，整理得，
设，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，且当时，当时，
所以当时过原点与曲线相切的直线有2条.故选：C
6．已知函数，都有的最小值为0，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，都有的最小值为0，可转化为直线与相切.设切点坐标为，则可得，可得.令，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以，即的最小值为.故选:A.
7.已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以，，因为在公共点处有相同的切线，所以即，所以故答案为：
8．曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】对函数求导可得，所以，
所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即.
故答案为：.
9．已知函数的图象在处的切线与在处的切线相互垂直，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】因为，所以，依题意可得，
所以,所以且，或且，当且时，，，，，
所以，，，所以，，，
所以当或时，取得最小值.当且时，
，，，，所以，，，
所以，，，所以当或时，取得最小值.
综上所述：的最小值是.故答案为：.
基本初等函数
导函数
（为常数）