第03讲 导数与函数的极值、最值（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 极值点与极值 知识点2 函数的最大(小)值
知识点3 函数极值与最值的关系
题型破译 (含超链接）
\l "__x0001_题型1 （导）函数图象与极值" 题型1 （导）函数图象与极值
【方法技巧】导函数图象与原函数图象的关系
\l "__x0001_题型2 求函数的极值（点）" 题型2 求函数的极值（点）
【方法技巧】求函数的极值（点）的方法
题型3 已知函数的极值（点）求参数
【方法技巧】已知极值（点）求参数的方法
题型4 已知极值（点）个数求参数
【方法技巧】已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤
\l "__x0001_题型5 求不含参函数的最值" 题型5 求不含参函数的最值
题型6 导数在解决实际问题中的应用
\l "__x0001_题型7 根据函数的最值求参数" 题型7 根据函数的最值求参数
题型8 利用极值、最值解决函数的零点问题
【方法技巧】利用导数画图解决零点问题
题型9 恒成立问题
【方法技巧】恒成立问题的处理方式
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 极值点与极值
1．极值点与极值
（1）极小值点与极小值
若函数在点的函数值比它在点________其他点的函数值都小，且________,而且在点附近的左侧________,右侧________,就把叫做函数的________,叫做函数的________．
（2）极大值点与极大值
若函数在点的函数值比它在点________其他点的函数值都大，且________,而且在点附近的左侧________,右侧________，就把叫做函数的________,叫做函数的________．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值．
注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值．
2．函数极值的求法
解方程,当时:
（1）如果在附近的左侧;右侧,那么是________;
（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是________
极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的________,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的________．
②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点．
3．导数与极值的关系
一般来说,""是“函数在点处取得极值”的________条件．若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点．函数在点处取得极值的充要条件是且在左、右两侧的符号________．
自主检测
1．函数的极小值为（ ）
A．B．0C．1D．2
\l "_Tc25045" 知识点2 函数的最大(小)值
1．最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条________的曲线,那么它必有最大值与最小值．
最值与极值的区别：①函数的极值是函数在________区间上函数值的比较；函数的最值是函数在________区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者．
②函数的极值可以有________个，但最大(小)值只能有________个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得．
最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是________,这里区间可以是无穷区间
2．求函数在区间上的最值的步骤：
①在区间上的极值;②将函数的各极值与________处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
自主检测
2．函数的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．1
\l "_Tc25045" 知识点3 函数极值与最值的关系
1．研究范围不同：极值是________概念，只看某一点附近的函数值大小；最值是________概念，针对整个定义区间来比较。
2．数量不同：在一个区间内，极大值、极小值可能有________，也可能不存在；而最大值、最小值最多只有________，也可能不存在。
3．位置不同：极值点不能出现在区间________；最值点可以是区间________。
4．取值位置：可导函数的最大值、最小值，一定出现在________或________处。
自主检测
3．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有最大值
B．函数有最大值，但不一定是
C．函数的最小值也可能是
D．函数不一定有最大值
题●型●破●译
题型1 （导）函数图象与极值
例1-1（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（ ）
A．B．C．D．
例1-2（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．有极小值，极大值
B．有极小值，极大值
C．有极小值，极大值和
D．有极小值，极大值
【变式1-1】（2023·24高三上·重庆·阶段检测）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上为增函数B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值
【变式1-2】（2024·25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取最大值B．是的极大值点
C．没有极小值点D．可能不是导函数的极大值点
【变式1-3·变考法】（2024·25高三上·山东滨州·期末）（多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．当时，函数有极小值
D．当时，函数有极小值
题型2 求函数的极值（点）
例2-1（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性，并求其极值；
例2-2（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的所有极值点之和为__________．
【变式2-2·变角度】（2026·河北保定·二模）已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（ ）
A．2026B．2025C．1014D．1013
【变式2-3·变考法】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数有3个极值点，则（ ）
A．B．C．D．
题型3 已知函数的极值（点）求参数
例3-1（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数在处取得极值，则（ ）
A．B．C．D．3
例3-2（2026·四川宜宾·一模）已知函数.
(1)是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
【变式3-1】（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____．
【变式3-2】（2026·河南·三模）已知函数.
(1)若是的极小值点，求的值；
【变式3-3】（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值.
(1)求的值;
题型4 已知极值（点）个数求参数
例4-1（2026·湖北·模拟预测）已知定义在上的奇函数存在2个极值点，则（ ）
A．B．C．D．
例4-2（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数．
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围；
【变式4-1·变题型】（2024·河南·一模）若函数在区间只有个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________．
【变式4-2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________．
【变式4-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)若有3个极值点，求a的取值范围；
题型5 求不含参函数的最值
例5-1（2026·江苏扬州·三模）函数在区间上的最大值为_________．
例5-2（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的最大值；
【变式5-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆柱的体积为，则圆柱的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2·变载体】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在上的最大值；
【变式5-3·变考法】（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，其导函数为.
(1)当时，求函数的值域；
题型6 导数在解决实际问题中的应用
例6-1（2026·江苏镇江·一模）已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（ ）
A．B．C．D．
例6-2（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度）
【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（ ）
A．2B．3C．D．
【变式6-2·变情境】（2025·重庆·模拟预测）在我国古代建筑中，梁一直是很重要的组成部分，现代工程科学常用抗弯截面系数来刻画梁的承重能力.若梁的截面形状是圆，且圆形截面的半径为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是正方形，且正方形截面的边长为，则抗弯截面系数；若梁的截面形状是长方形，且长方形截面的长为，宽为，则抗弯截面系数.若上述三种截面形状的梁的截面周长相同，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米．
题型7 根据函数的最值求参数
例7-1（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是__________.
例7-2（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上的最小值为，求.
【变式7-1】（2024·25高三下·广东·开学考试）已知函数的最小值是，则___________.
【变式7-2·变载体】（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【变式7-3】（2026·山东淄博·三模）已知函数.
(1)当，时，求的极值；
(2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围.
题型8 利用极值、最值解决函数的零点问题
例8-1（2026·山东·模拟预测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例8-2（2026·广东广州·二模）若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【变式8-1·变载体】（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2·变考法】（2026·湖南·三模）当函数的零点个数最多时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-3】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，有2个零点
B．当时，有3个零点
C．当时，只有1个零点
D．当时，有2个零点
【变式8-4】（2026·河南·二模）已知函数．
(1)当时，判断在区间有无零点，并说明理由；
题型9 恒成立问题
例9-1（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________．
例9-2（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数．
(1)若在处取得极值，求a的值；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【变式9-1·变载体】（2026·陕西榆林·模拟预测）若恒成立，则实数a的取值范围为______．
【变式9-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，，为的导函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于x的不等式fx+1≥2f′x在上恒成立，求实数b的取值范围.
【变式9-3】（2026·安徽芜湖·二模）已知.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若有极值点，求的取值范围；
(3)若恒成立，求的取值范围.
【变式9-4】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
3．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________
4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．
5．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．
6．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．（2024·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意成立，求实数的值；
8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
9．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值；
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．求下列函数的极值：
（1） （2）；
（3） （4）
2．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
3．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
4．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
5．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
（1），；
（2），．
核心考点
2026年
2025年
2024年
函数的极值
——
全国二卷T10（6分）
全国二卷T13（5分）
全国二卷T18（1）（4分）
全国I卷T10（6分）
全国II卷T11（6分）
全国II卷T16（2）（9分）
全国甲卷（理）T21（1）（5分）
函数的最值
全国一卷T6（5分）
全国一卷T19（1）（4分）
全国甲卷（理）T21（2）（7分）
全国甲卷（文）T16（5分）
考情分析
近三年考情显示，导数与函数的极值、最值考查稳定，是高考数学核心必考内容。无论试题如何变化，均以导数为工具，通过单调性分析极值、最值，借助图像直观呈现本质。常以解答题压轴设问出现，难度中档偏上，侧重含参讨论、单调性衔接、极值点判定与最值求解。最终落脚点仍是单调性与最值，突出转化、分类讨论与数形结合思想。
复习目标
1．结合函数图像，理解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。
2．能利用导数熟练求函数的极大值、极小值及极值点。
3．会求闭区间上函数的最大值与最小值。
4．能结合单调性、参数讨论，判定极值存在性并求解参数范围。
方法技巧 导函数图象与原函数图象的关系
导函数图像由正变负，原函数在该点取得极大值；导函数图像由负变正，原函数在该点取得极小值。只有导函数图像穿过x轴的交点才是极值点，仅相切不穿过的点不是极值点。
方法技巧 求函数的极值（点）的方法
先确定函数定义域，求导并令，找出所有驻点与不可导点。逐一判断每个点左右两侧导数符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，严格区分极值点与极值。
方法技巧 已知极值（点）求参数的方法
（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
方法技巧 已知极值（点）个数求参数的通用解题步骤
（1）求定义域：优先写出函数定义域，注意分母、对数、根号等限制。
（2）求导并整理：通分、因式分解，转化为整式型导数（方便判断零点）。
（3）转化问题：极值点n个在定义域内有n个不同变号零点。
（4）构造函数+数形结合：分离参数或直接研究导函数图像，利用单调性、零点存在定理求参数范围。
方法技巧 利用导数画图解决零点问题
（1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
（2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．
方法技巧 恒成立问题的处理方式
将f(x)≥0或f(x)≤0恒成立转化为函数在区间上的最值问题。求导确定最值，建立最值不等式求解参数范围，注意分类讨论与端点取值。