新高考数学二轮复习题型突破小题提升练创新考法10真实情境创新命题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习题型突破小题提升练创新考法10真实情境创新命题（2份，原卷版+解析版），共9页。
一.单选题.
【第19届亚运会 2024上山西吕梁阶段练习】
1．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.
【详解】由题意，得，
即，∴，
解得.又每枚的最低售价为15元，∴.
故选：B.
【《增广贤文》 2025下北京开学考试】
2．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．
【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，
列方程得，即，
解得，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：C．
【天然气表观消费量 2024黑龙江大庆实验中学调研】
3．近年来，天然气表观消费量从2006年的不到m3激增到2021年的m3. 从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，，.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第k年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为m3，2018年的天然气消费量为m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（ ）
（参考数据：，
A．m3B．m3
C．m3D．m3
【答案】B
【分析】由题意，，，由已知数据解出，再由，代入参考数据计算即可.
【详解】据题意，，两式相除可得，
又因为，
故选：B．
【累数制 2024山东潍坊模拟】
4．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：
例如：，．依据此记数方法，（ ）
A．2025B．2035C．2050D．2055
【答案】B
【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.
【详解】依题意，每个表示1000，左起两个就表示2000，
每个表示10，中间3个就表示30，最后一个表示5，
因此表示的数是
所以.
故选：B
【中国剩余定理 2024福建三明联考】
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，能被7除余1且被9除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列的和为（ ）
A．30014B．30016C．33297D．33299
【答案】C
【分析】得到，从而得到为等差数列，首项为1，公差为63，利用等差数列求和公式求出答案.
【详解】由已知可得既能被7整除，又能被9整除，
故能被63整除，所以，即，
所以，
故为等差数列，首项为1，公差为63，
由可得：，
因为，所以，，
故该数列的和为.
故选：C
【新莽嘉量 2024全国一模】
6．汉代刘歆等人设计的“新莽嘉量”，是集龠、合、升、斗、斛五量为一器的标准量器，各器均为圆筒形（可视为圆柱）．如图，正中的圆柱体的上部为斛量，下部为斗量，左耳为升量，右耳上为合量，下为龠量．某兴趣小组制作一“新莽嘉量”模型，设升、斗、斛圆柱的底面半径分别为，高分别为，体积分别为．若成等比数列，且，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据给定的信息，利用圆柱的体积公式及等比数列定义求解即得.
【详解】依题意，，即所成等比数列的公比为10，则，
所以.
故选：B
【水轮 2025上湖南长沙阶段练习】
7．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
【答案】B
【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可.
【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，
由题意，，，解得,
，则.
当时，，则，
又，则.
综上，，故D正确；
令，则，
若，得秒，故A正确；
当秒时，米，故B不正确；
当秒时，米，故C正确.
故选：B.
【阳爻和阴爻 2024广东佛山模拟预测】
8．在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】B
【分析】由题意，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率.
【详解】在一次所谓“算卦”中得到六爻，
基本事件的总数为，
这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为，
所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是.
故选：B.
【人脸识别 2025上江苏盐城期中】
9．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设距离定义及差角余弦公式、已知得，再应用倍角余弦公式求结果.
【详解】由题设，，
所以
，
由，
所以.
故选：B
【幂势既同，则积不容异 2025上黑龙江阶段练习】
10．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理:“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体. 被平行于这两个平面的任意平面所截. 如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.一段弯曲的水管，如图（1），其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线 与两直线围成的平面区域，如图（2），根据祖暅原理，计算该段水管的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造一个底面直径为，高为的圆柱，利用正切函数的性质及祖暅原理，即可求解.
【详解】根据正切函数的周期性，在图（2）中，平行于直线的任一直线与曲线两个交点的距离都为，
构造一个底面直径为，高为的圆柱，如图（3），
如图，用距离上底面为的平面分别去截水管、圆柱，所得截面圆、圆的面积都为，
根据祖暅原理，水管和圆柱的体积相等，而圆柱的体积为，所以水管的体积为.
故选：C.
【新能源汽车 2024云南模拟预测】
11．当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据：，结果精确到0.1）
A．320.5亿元B．353.8亿元C．363.2亿元D．283.8亿元
【答案】B
【分析】先求得每辆车的利润和该汽车的销量的表达式，故可得，再结合错位相减法可求得答案
【详解】设第年每辆车的利润为万元，则每辆车的利润是以2为首项，0.2为公差的等差数列，
所以，设第年新能源汽车的销量为辆，
则该汽车的销量是以100000为首项，1.2为公比的等比数列，所以，
设该车企销售新能源汽车的总利润为，
①，
，②
①-②得：
，
所以万元，即亿元，
故选：B.
【汉诺塔 2024浙江绍兴二模】
12．汉诺塔（Twer f Hani），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为等差数列
C．为等比数列D．
【答案】C
【分析】由题意可得，判断A；归纳得到，结合等差数列以及等比数列的概念可判断B，C；求出，判断D.
【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：
若有2个圆盘，则移动情况为：，需移动3次；
若有3个圆盘，则移动情况如下：
，共7次，故，A错误；
由此可知若有n个圆盘，设至少移动次，则,
所以，而，故为等比数列，
故即，该式不是n的一次函数，
则不为等差数列，B错误；
又，则，，则为等比数列，C正确，
，D错误，
故选：C
【正八边形窗花隔断 2024宁夏一模】
13．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】C
【分析】根据的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】设，
当与重合时，；
当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时，
，所以，
当与重合时，，所以，
以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系，
根据正八边形的性质可知，，
则，
直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，
当在线段（除）上运动时，设，
所以，
当在线段上运动时，设，
所以，
当在线段（除）上运动时，设，
所以.
综上所述，的最小值为.
故选：C
二.多选题.
【“一带一路” 2024新课标Ⅰ卷】
14．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，，所以，
故，C正确，D错误；
因为，所以，
因为，所以，
而，B正确，A错误，
故选：BC．
【电瓶新闻灯 2024江西南昌二模】
15．“双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C．
D．过点作垂直的延长线于H，则
【答案】ACD
【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出.
【详解】A选项：设焦点在轴上的双曲线方程为.由离心率，可得，
于是方程为.代入点，解得.双曲线方程为.故A正确.
B选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间.
焦点在轴上的双曲线渐近线斜率，答案应为.故B错误.
C选项：利用点斜式求得，与双曲线方程联立，得到，
可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线.
根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知，.故C正确.
D选项：由C选项的计算结果.因为直线垂直于直线，所以.
因为，可求得.
两方程进行联立，解出，因此.故D正确.
故选：ACD
【四尖瓣线 2025上贵州遵义阶段练习】
16．星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线上的点到轴的距离的最大值为1，则（ ）
A．
B．上的点到原点的距离的最大值为1
C．上的点到原点的距离的最小值为
D．当点在上时，
【答案】ABD
【分析】令得，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD.
【详解】对于A，∵星形线上的点到轴的距离的最大值为1，令得，∵，可得，故A正确；
对于B，由图可得上的点到原点的距离的最大值为1，故B正确；
对于C，设点在上，则，∵
，
当且仅当等号成立，即星形线上的点到原点距离的最小值为，故C错误；
对于D，当点在上时，∵，得，
当且仅当等号成立，即星形线上的点到，轴距离的乘积的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【甲醛的最高容许浓度 2025全国专题练习】
17．中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑，二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则（ ）（参考数据：，，）
A．
B．
C．3周后室内甲醛浓度为
D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周
【答案】ACD
【分析】根据题意列式求解得，，即可求出，即可判断选项ABC，令，利用指对互化解不等式即可判断选项D.
【详解】由题意可得，
解得，，
所以A正确，B错误；
所以，
，故C正确；
令，得，
两边取对数得，
即，
所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，
至少需要放置的时间为6周，故D正确.
故选：ACD
【潮汐 2025上湖北开学考试】
18．受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：
以下选项正确的有（ ）
A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，
B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口
C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口
D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00
【答案】ABD
【分析】根据题意求出函数的解析式，即可判断A；解不等式组，即可判断B；求出19时水的深度，即可判断C；求出函数与的图象的交点，即可判断D.
【详解】解：依题意，，，解得，
显然函数的图象过点，
即，又，因此，
所以函数表达式为，，故A对；
依题意，，整理得，
即有，
即,
解得或，
所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口，故B对；
该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，
19时水深为，故C错；
该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后，
该船符合安全条例的最小水深为
函数与的图象交于点，
即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，
下次水深为7米时刻为11点，
故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，
综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D对.
故选：ABD.
【大衍数列 原创】
19．大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】当时，，当时，，联立可得，利用累加法可得，从而可求得的通项公式，再逐项判断即可.
【详解】因为，，
令且，
当时，①；
当时，②，
由①②联立得.
所以，
累加可得.
令(且为奇数)，得，
当时满足上式，
所以当为奇数时，.
当为奇数时，，
所以，其中为偶数.
所以，故C正确.
所以，故A错误.
当为偶数时，，即，
当为奇数时，，即，
综上可得，故B正确.
因为
，故D正确.
故选：BCD.
三.填空题.
【《九章算术》 2024湖北宜昌模拟】
20．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“现在有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为 平方尺．
【答案】
【解析】由题意可知，此阳马的外接球半径等于以底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体的外接球半径，即半径为长方体体对角线的一半,求出半径，然后得出表面积.
【详解】根据该几何体的特点可知，此阳马的外接球半径等于以底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体的外接球半径，
则外接球半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】常见的空间几何体的外接球半径计算方法如下：
（1）长方体的外接球半径：(其中分别为长方体的长、宽、高)；
（2）直棱柱的外接球半径：(其中为棱柱的高，为直棱柱底面外接圆的半径).
【赵爽弦图 2024山西太原三模】
21．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案.
【详解】，
取的中点，连接，
因为，故，
又，所以，故，且，
所以的最大值为，此时点与点重合.
故答案为：
【四叶玫瑰花瓣曲线 2025上河北沧州阶段练习】
22．如图，曲线是四叶玫瑰花瓣曲线，若点是曲线上一点，则的最大值为 ，玫瑰花瓣及其边界内包含整点（横､纵坐标均为整数）的个数为 .

【答案】 8 17
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值；求出圆及内部的整点个数，再剔除在玫瑰花瓣外的点即可得解.
【详解】由基本不等式，解得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为8；
在圆及其内部的整点横向最上面一排有，共5排；
纵向每一列也有5个点，有5列，共25个，验证知只有坐标轴上除原点外的8个点不在花瓣内，所以共有17个.
故答案为：8；17
【点睛】关键点点睛：确定圆及其内部的整点个数是解决第2空的关键.
【悬链线形状问题 2025上上海奉贤期中】
23．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和
【答案】4048
【分析】根据函数图象平移的性质可得的图象关于对称，即，即可求解.
【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，即，
因此，,
因此,
故答案为：
【《九章算术》 2025上北京房山期末】
24．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布 尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为 .
【答案】 ##
【分析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第5天织布的尺数；再令，求出，即可得出答案.
【详解】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，
设首项为，前项和为，
则由题意得，∴，
∴，即该女子第5天所织布的尺数为．
令，解得：，所以.
所以若要织布50尺，该女子所需的天数至少为.
故答案为：；．
【世界名画《星月夜》 2024浙江二模】
25．如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：）
【答案】
【分析】设弧的中点为，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆的位置，分析可得弧上的点与圆上的点的最短距离.
【详解】如图，
设弧的中点为，弧所对的圆心角为，
圆的半径，在弧上取两点，则，
分别过点作圆的切线，并交直线于点，
当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线，
则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点，
过点，分别向作垂线，垂足为，则即为圆的半径，
设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度.
在中，，
则，
即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：
相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即.
1.试题特点分析：近年來高考数学试卷已经是“无情境不命题”了，高考数学试题合理融入创新问题情境与数学活动，让学生借助数学的基础知识与基本能力等来分析与解决具体的数学模型，通过知识的应用与模型的解答来分析与解决问题.
2.解题方法阐述：解决真实情境创新问题的一般思路是“读懂数学情境——提炼数学知识——探寻问题解决——回归真实问题”，其关键是提取数学知识，建立合适数学模型.
3.解题经验分享：第一、激发内在动力，主动探索未知，做到对真实情境问题不畏惧； 第二、融合信息技术手段，拓宽阅读广度，关注前沿信息，；第三、加强数学思维训练，奠定解决问题基础，识别关键信息，合理建立数学模型.
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深/米
10
7
4
7
10
7
4
7