新高考数学二轮复习专题突破练习微专题1 三角函数的图象与性质（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题突破练习微专题1 三角函数的图象与性质（2份，原卷版+解析版）
2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以客观题或作为解答题的其中一问考查.
一、高考真题
1.(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan x−π3的图象的一个对称中心,则a的最小值为( )
A.π6B.π3C.π2D.4π3
答案 B
解析 由题意知a-π3=kπ2,k∈Z,
得a=kπ2+π3,k∈Z,
因为a>0,所以取k=0,得a的最小值为π3.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin 3x−π6的交点个数为( )
A.3B.4C.6D.8
答案 C
解析 因为函数y=2sin 3x−π6的最小正周期T=2π3,
所以函数y=2sin 3x−π6在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,
所以作出函数y=2sin 3x−π6与y=sin x在[0,2π]上的图象如图所示,
由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C.
3.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin 2x−π4,下列说法中正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
答案 BC
解析 对于A,令f(x)=0,则x=kπ2,k∈Z,
又gkπ2≠0,故A错误;
对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确;
对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确;
对于D,f(x)图象的对称轴方程满足2x=π2+kπ,k∈Z,
即x=π4+kπ2,k∈Z,
g(x)图象的对称轴方程满足2x-π4=π2+kπ,k∈Z,
即x=3π8+kπ2,k∈Z,
故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC.
4.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-3cs x在[0,π]上的最大值是 .
答案 2
解析 由题意知f(x)=sin x-3cs x=2sin x−π3,
当x∈[0,π]时,x-π3∈−π3,2π3,
∴sin x−π3∈−32,1,
于是f(x)∈[-3,2],
故f(x)在[0,π]上的最大值为2.
5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)= .
答案 -32
解析 对比正弦函数y=sin x的图象易知,点2π3,0为“五点法”画图中的第五点,
所以2π3ω+φ=2π.①
由题知|AB|=xB-xA=π6,ωxA+φ=π6,ωxB+φ=5π6,
两式相减,得ω(xB-xA)=4π6,即π6ω=4π6,
解得ω=4.
代入①,得φ=-2π3,
所以f(π)=sin 4π−2π3=-sin 2π3=-32.
二．典型例题
1.三角函数图象的变换
例1 (多选)(2025·保定质检)已知曲线C1:y=cs x,C2:y=sin 2x+2π3,则下面结论正确的是( )
A.把曲线C1向左平移π6个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2
B.把曲线C1向左平移π12个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2
C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π6个单位长度,得到曲线C2
D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2
答案 AD
解析 对于A,曲线C1:y=cs x向左平移π6个单位长度,
得到曲线y=cs x+π6,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,
得到曲线y=cs 2x+π6=cs 2x+2π3−π2=sin 2x+2π3,故A正确;
对于B,把曲线C1:y=cs x向左平移π12个单位长度,得到曲线y=cs x+π12,
再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线y=cs 2x+π12=sin 2x+π12+π2=sin 2x+7π12的图象,不是曲线C2,故B错误;
对于C,把曲线C1:y=cs x上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线y=cs 2x,再把得到的曲线向左平移π6个单位长度,
得到曲线y=cs 2x+π6=cs 2x+π3=sin 2x+π3+π2
=sin 2x+5π6的图象,不是曲线C2,故C错误;
对于D,把曲线C1:y=cs x上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线y=cs 2x,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线y=cs 2x+π12=cs 2x+π6=cs 2x+2π3−π2=sin 2x+2π3,故D正确.
训练1 (1)(2025·福建十一校联考)已知函数f(x)=22cs π4+xcs π4−x,要得到函数g(x)=sin 2x-2cs 2x+1的图象,只需将f(x)的图象( )
A.向左平移π8个单位长度 B.向左平移3π4个单位长度
C.向右平移3π4个单位长度 D.向右平移3π8个单位长度
(2)(2025·安康调研)将函数f(x)=2sin 2x−π3的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则m的值可以是( )
A.π3 B.π C.4π3 D.5π3
答案 (1)D (2)D
解析 (1)f(x)=22cs π4+x·cs π4−x=22cs π4+xsin π4+x=2sin π2+2x=2cs 2x,
g(x)=sin 2x-2cs 2x+1=sin 2x-cs 2x
=2sin 2x−π4=2cs 2x−3π4,
故将f(x)的图象向右平移3π8个单位长度可得g(x)的图象.
(2)将函数f(x)=2sin 2x−π3的图象向左平移m(m>0)个单位长度,
得y=2sin 2x+2m−π3的图象,
因为y=2sin 2x+2m−π3的图象关于原点对称,
所以2m-π3=kπ,k∈Z,
即m=π6+kπ2,k∈Z,当k=3时,得m=5π3,
使m=π6+kπ2=π3,m=π6+kπ2=π,
m=π6+kπ2=4π3的整数k不存在.
2.三角函数的图象与解析式
例2 (1)函数f(x)=2sin ωx−π6+m(0