新高考数学二轮复习专题突破练习微专题5 平面向量的基本运算及应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题突破练习微专题5 平面向量的基本运算及应用（2份，原卷版+解析版）
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cs =( )
A.117 B.1717 C.55 D.255
3.(2025·新高考Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则真风为( )
A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风
4.(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|= .
5.(2025·天津卷)△ABC中,D为AB中点,CE=13CD,AB=a,AC=b,则AE= (用a,b表示);若|AE|=5,AE⊥CB,则AE·CD= .
二．典型例题
1.平面向量的线性运算
例1 (1)(2025·许昌质检)在平行四边形ABCD中,点E,F,G分别满足DE=EC,BC=2BG,AF=2FE,则FG=( )
A.23AB-16ADB.23AB+16AD
C.16AB-23ADD.16AB+23AD
(2)(2025·福州段考)如图所示,在△ABC中,M是AB的中点,点N在边AC上,且AN=12NC,BN与CM交于点E,若AE=λAB+μAC,则λ,μ满足( )
A.λ+μ=45B.λμ=2
C.λ-μ=25D.λμ=12
易错提醒 1.平面向量加减运算求解的关键是:对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”;对平面向量减法抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”,再观察图形对向量进行等价转化.
2.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,不能盲目转化.
训练1 (1)(2025·北京东城区质检)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EC=( )
A.34AB-14ACB.-14AB-34AC
C.34AB+14ACD.-14AB+34AC
(2)(多选)如图所示,已知四边形ABCD为等腰梯形,CD∥AB,CD=12AB,E为DC的中点,F为AE的中点,若AD=λAB+μBF,则( )
A.λ=72 B.μ=2 C.λ=74 D.μ=1
2.平面向量的数量积
例2 (1)(2025·泰安模拟)已知非零向量a,b满足|a|=223|b|,若(a+b)⊥(3a-2b),则a与b的夹角为( )
A.π4 B.π2 C.3π4D.π
(2)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,F为AB的中点,CE=3,CB=8,AB=12,则EA·EB= .
易错提醒 1.由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0,π].
2.利用基底计算数量积时,要注意选择恰当的基底,常用已知的向量作基底.
训练2 (1)(多选)(2025·长沙模拟)已知向量a,b满足|a+2b|=|a|,a·b+a2=0,且|a|=2,则( )
A.|b|=2B.a+b=0
C.|a-2b|=6D.a·b=4
(2)在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E满足2DE=3DC,则AE·BD= .
3.平面向量的综合应用
例3 已知ω>0,a=(3sin ωx,-cs ωx),b=(cs ωx,cs ωx),f(x)=a·b,x1,x2是y=f(x)-12的两个零点,且|x1-x2|min=π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α∈0,π2,fα2=110,求sin 2α的值.
训练3 (2025·青岛适考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(b-a,c),n=(a+c,b+a),
m∥n.
(1)求B;
(2)若b=23,求AC边上的高的最大值.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=( )
A.3m-2nB.-2m+3n
C.3m+2nD.2m+3n
答案 B
2.(2025·重庆部分学校联考)已知向量a=(m,1),b=(0,3),且a⊥(a-b),则m=( )
A.2 B.2 C.±2 D.±2
3.(2025·浙江Z20名校联盟联考)已知向量a=(-1,1),b=(2,0),向量a在向量b上的投影向量c=( )
A.(-2,0) B.(2,0) C.(-1,0)D.(1,0)
4.(2025·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=12(AC+AD),则AP·AC=( )
A.4 B.5 C.6D.8
5.(2025·梅州质检)已知向量a=(sin θ,cs θ),b=(2,1),若a·b=|b|,则tan θ=( )
A.22 B.2 C.3D.32
6.(2025·南京质检)在△ABC中,D是BC上一点,满足BD=2DC,M是AD的中点,若BM=λBA+μBC,则λ+μ=( )
A.54 B.78 C.56D.58
7.(2025·西安质检)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=2DA,点E满足CD=2CE,若AB=AC=6,AB·AC=6,则|AE|=( )
A.11 B.23 C.12D.11
8.(2025·石家庄模拟)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心为O,则下列选项中不正确的是( )
A.AB·AC=AB·AD B.OA·OB+OC·OF=0
C.EG和HD是一对相反向量 D.|AB-BC+CD+EF-FG|=a
二、多选题
9.已知向量a,b不共线,向量a+b平分a与b的夹角,则下列结论一定正确的是( )
A.a·b=0 B.(a+b)⊥(a-b)
C.向量a,b在a+b上的投影向量相等 D.|a+b|=|a-b|
10.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的两点,且AE=EB,AD=2DC,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是( )
A.AB·CE=-1 B.OE+OC=0
C.|OA+OB+OC|=32 D.ED在BC方向上的投影向量的长度为76
11.(2025·湘潭适考)记圆O是△ABC的外接圆,且AB=6,AC=4,18AO=8AB+3AC,则( )
A.2AO=OB+OC B.AO·AB=18
C.△ABC的面积为63 D.圆O的周长为4213π
三、填空题
12.(2025·温州模拟)平面向量a,b满足a=(2,1),a∥b,a·b=-10,则|b|= .
13.(2025·成都诊断)在△ABC中,AC=4,AB=2,若G为△ABC的重心,则AG·BC= .
14.(2025·镇江调研)大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形,若D为BE的中点,则△DEF与△ABC的面积比为 ;设AD=λAB+μAC,则λ+μ= .
四、解答题
15.已知向量a=(cs x,sin x),b=(-6,2),x∈[0,π].
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
等级
风速大小(单位:m/s)
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风