新高考数学二轮复习专题突破练习微专题6 与平面向量有关的最值、范围问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题突破练习微专题6 与平面向量有关的最值、范围问题（2份，原卷版+解析版）
1.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中,|OA|=|OB|=2,
|AB|=2,设C(3,4),则|2CA+AB|的取值范围是( )
A.[6,14]B.[6,12]
C.[8,14]D.[8,12]
2.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( )
A.3 B.22
5D.2
3.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=12DE,BE=λBA+μBC,则λ+μ= ;F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则AF·DG的最小值为 .
4.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则PA12+PA22+…+PA82的取值范围是 .
二．典型例题
1.向量模的最值、范围
例1(1)(2025·广州调研)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=3,a·b=-32,=30°,则|c|的最大值为( )
A.27B.7
C.2D.2
(2)已知向量a,b,单位向量e,若a·e=1,b·e=2,a·b=3,则|a+b|的最小值为 .

规律方法 求向量模的范围或最值常见方法:
(1)通过|a|2=a2转化为实数问题;(2)数形结合;(3)坐标法.
训练1 (1)已知单位向量a,b满足|a-b|+23a·b=0,则|ta+b|(t∈R)的最小值为( )
A.23B.32
C.223D.22
(2)已知△ABC是边长为43的正三角形,点P是△ABC所在平面内的一点,且满足|AP+BP+CP|=3,则|AP|的取值范围是 .
2.向量数量积的最值、范围
例2 (1)(2025·北京延庆区模拟)在△ABC中,A=90°,AB=AC=4,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则MP·CP的最小值为 .
(2)(2025·哈尔滨调研)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,且cs =-12,|c-a+b|=1,则b·(a-c)的最小值为 .
规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断.
(2)数化:利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题,然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
训练2(1)如图,已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上(含边界),则PC·PD的取值范围为( )
A.(0,16]B.[0,16]
C.(0,4)D.[0,4]
(2)(2025·江西五市九校联考)如图,已知圆O的半径为2,弦长AB=2,C为圆O上一动点,则AC·BC的取值范围为 .
3.向量夹角的最值、范围
例3 (2025·太原调研)已知点P(1,0),C(0,3),O是坐标原点,点B满足|BC|=1,则OP与PB夹角的最大值为( )
A.5π6B.2π3
C.π2D.π3
规律方法 1.解答本题的关键是确定动点B的轨迹后,数形结合求解,把两向量夹角的最值问题转化为直线与圆的位置关系问题.
2.求向量夹角的最值、范围,往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,要注意变量之间的关系.
训练3 (2025·合肥段考)在平行四边形ABCD中,AB|AB|+2AD|AD|=λAC|AC|,λ∈[2,2],则cs ∠BAD的取值范围是 .
4.向量系数的最值、范围
例4 (2025·铜川模拟)在△ABC中,D是AB边上的点,满足AD=2DB,E在线段CD上(不含端点),且AE=xAB+yAC(x,y∈R),则x+2yxy的最小值为 .
规律方法 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0).
(2)OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),则A,B,C三点共线⇔λ+μ=1,进行转化,列不等式或等式得到关于系数的关系式,从而求系数的取值范围.
训练4 (2025·南京模拟)已知点P是△ABC所在平面内的一点,且AP=13AB+tAC(t∈R),若点P在
△ABC的内部(不包含边界),则实数t的取值范围是 .
【精准强化练】
一、单选题
1.已知非零向量a,b的夹角为π6,|a|=2,λ∈R,则|a+λb|的最小值为( )
A.2B.3
C.1D.12
2.(2025·南通质检)如图所示,单位圆上有动点A,B,则|OA-OB|的最大值为( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
3.(2025·齐齐哈尔)已知向量a,b不共线,AB=λa+b,AC=a+μb,
其中λ>0,μ>0.若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为( )
A.5B.4
C.3D.2
4.设向量OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1a+2b的最小值为( )
A.4B.6
C.8D.9
5.(2025·广州三校联考)已知正方形ABCD的边长为1,设点M,N满足AM=λAB,AN=μAD.若CM·CN=1,则λ2+2μ2的最小值为( )
A.2B.1
C.23D.34
6.已知a,b是互相垂直的两个单位向量,若向量c满足|c-a-b|=2,则|c|的最大值为( )
A.2-2B.2+2
C.2D.22
7.已知菱形ABCD的边长为1,cs ∠BAD=13,O为菱形的中心,E是线段AB上的动点,则DE·DO的最小值为( )
A.13B.23
C.12D.16
8.(2025·开封调研)在平面直角坐标系xOy中,设A(2,4),B(-2,-4),动点P满足PO·PA=-1,则tan ∠PBO的最大值为( )
A.22121B.42929
C.24141D.22
二、多选题
9.(2025·杭州质检)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,4),长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则PA·PB的取值可以为( )
A.10B.15
C.25D.35
10.(2025·泉州调研)平面向量m,n满足|m|=|n|=1,对任意的实数t,m−12n≤|m+tn|恒成立,则( )
A.m与n的夹角为60°
B.(m+tn)2+(m-tn)2为定值
C.|n-tm|的最小值为12
D.m在m+n上的投影向量为12(m+n)
11.(2025·菏泽模拟)如图,已知△ABC中,B=2π3,AB=BC=2,M是AC的中点,动点P在以AC为直径的半圆弧上.则( )
A.2BM=BA+BC
B.BP·BC的最小值为-2
C.BM在BC上的投影向量为13BC
D.若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为1+3
三、填空题
12.在△ABC中,CA=CB=2,D为AC的中点,则DC·DB的取值范围是 .
13.(2025·昆明调研)已知非零向量a,b的夹角为θ,|a+b|=2,且|a||b|≥43,则夹角θ的取值范围为 .
14.(2025·天津部分区模拟)已知平行四边形ABCD的面积为63,∠BAD=2π3,且BE=2EC.若F为线段DE上的动点,且AF=λAB+56AD,则实数λ的值为 ;|AF|的最小值为 .