新高考数学一轮专项（三角函数）训练专题三 三角函数的图象与性质(2)（2份，原卷版+解析版）

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【基本知识】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
【常用结论】
1．三角函数的周期性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)．应特别注意函数y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝eq \f(π,|ω|)，函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)．
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)．应特别注意函数y＝|Acs(ωx＋φ)|的周期为T＝eq \f(π,|ω|)．函数y＝|Acs(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期均为T＝eq \f(2π,|ω|)．
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)．应特别注意函数y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期为T＝eq \f(π,|ω|)，函数y＝|Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0) 的最小正周期均为T＝eq \f(π,|ω|)．
2．三角函数的奇偶性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
3．三角函数的对称性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)解得；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)解得．
【方法总结】
三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，且当x＝0时，f(x)＝0．
(2)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T＝eq \f(2π,|ω|)，T＝eq \f(2π,|ω|)，T＝eq \f(π,|ω|)求解．
(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
【例题选讲】
[例1] (1) 下列函数中，周期为π，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的奇函数是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))) C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))
答案 C 解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))＝－cs 2x为偶函数，排除A；y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝sin 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为减函数，排除B；y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x为奇函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增，且周期为π，符合题意；y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x为偶函数，排除D．故选C．
(2) 已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称 B．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，0))对称
C．关于直线x＝eq \f(π,3)对称 D．关于直线x＝eq \f(5π,3)对称
答案 B 解析 因为函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)的最小正周期是4π，而T＝eq \f(2π,ω)＝4π，所以ω＝eq \f(1,2)，即f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))．令eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为x＝eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，令eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，解得x＝－eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)．故f(x)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋2kπ，0))(k∈Z)，对比选项可知B正确．
(3) 已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为 ．
答案 eq \f(6π,5) 解析 由函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴ω＝k＋eq \f(2,3)，又ω∈(1，2)，∴ω＝eq \f(5,3)，∴得函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,\f(5,3))＝eq \f(6π,5)．
(4) 函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(5π,6) D．eq \f(2π,3)
答案 C 解析 因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))是偶函数，所以－eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以φ＝kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝eq \f(5π,6)．
(5) 同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称；③在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上是增函数；④图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))”的一个函数是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
答案 C 解析 因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A选项；当x＝eq \f(π,3)时，对于B，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)＋\f(π,3)))＝0，对于D，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，因为图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，所以排除B、D选项，对于C，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)－\f(π,6)))＝1，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,6)))＝0，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上是增函数，故C满足条件．
(6) 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，则f(x)的最小正周期为 ．
答案 π 解析 记f(x)的最小正周期为T．由题意知eq \f(T,2)≥eq \f(π,2)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，且eq \f(2π,3)－eq \f(π,2)＝eq \f(π,6)，
可作出示意图如图所示(一种情况)：
∴x1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,6)))×eq \f(1,2)＝eq \f(π,3)，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(2π,3)))×eq \f(1,2)＝eq \f(7π,12)，∴eq \f(T,4)＝x2－x1＝eq \f(7π,12)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，∴T＝π．
(7) 已知函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))))，则下列说法正确的是 ．(填序号)
①f(x)的周期是eq \f(π,2)；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝eq \f(5π,3)是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z．
答案 ④ 解析 函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝eq \f(5π,3)时，eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)≠eq \f(kπ,2)，k∈Z，∴x＝eq \f(5π,3)不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－eq \f(π,2)