新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题06 构造函数与放缩综合比大小讲义（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题06 构造函数与放缩综合比大小讲义（2份，原卷版+解析版）
微专题教学内容
两类经典超越不等式
，，，
泰勒不等式
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
不等式放缩
，，
，，
，
，
放缩程度综合
，
帕德近似
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：
，
且满足：，，，…，．
注：，，，
典例精讲
【典例1】
设，则（ ）
A．B．C．D．
【法一】分析法
假设待证法比较大小→构造函数
假设成立，即
令，则等价证明：，即证：（原式得证，略）
假设成立，即
令，则等价证明：，
证明略
所以函数在单调递增，
所以，即：，所以假设不成立，即，
综上所述：，故选：C
【法二】构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
会一题通一类
1.，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小．
【详解】令，，则，
所以当时，即在上单调递增，
所以，即，即，即，
令，则，
在时，，则为减函数，
∴，即；
令，，则，
故在为减函数，
∴，即；
∴，
令，则，即，∴，
所以．
故选：D．
【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，.
2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.
【详解】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
【典例2】
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，.
通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简，再利用泰勒公式近似求出的值，再比大小即可.
【详解】由题意可得，，
，
又，则.
故选：C
会一题通一类
已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用泰勒放缩，即可比较大小.
【详解】，
，
，
∴.
故选：D.
【典例3】
设，则（ ）
A．B．C．D．
详解：因为，
所以，即
因为，
所以，即
综上所述：，故选：C
会一题通一类
已知，则（ ）
A．B．C．D．
思路详解：【法一】：不等式放缩一
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
【法二】不等式放缩二
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【典例4】
已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据帕德近似公式a、b，然后比较即可.
【详解】利用帕德逼近，得，
，，综上，.
故选：B
会一题通一类
已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用帕德逼近估算各值的近似值，比较大小关系.
【详解】，，
，
综上，．
故选：B
【典例5】
已知，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数和对数运算，先估算出的取值范围，再用对数运算来估算和，即可得到判断.
【详解】由换底公式等价变形得：，
因为，两边取以7为底的对数可得：，
又因为，两边取以7为底的对数可得：，
可知，
由，可得，
由，可得，
从而可得，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是借助已知数据和指数对数运算，可以估算出，从而可以让与有理数进行大小比较.
会一题通一类
（多选）已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】对于AB，由已知条件得，构造函数，利用其单调性进行判断，对于C，由幂函数的单调性结合进行判断，对于D，由已知可得，再结合的单调性分析判断.
【详解】对于AB，由得，，
所以，
设，因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，又，
所以，所以A正确，B错误；
对于C，因为幂函数在上单调递减，所以，即，C正确；
对于D，因为，所以，因为，
所以，
由选项AB可知在上单调递增，所以，D正确.
故选：ACD.
【典例6】
若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令，得，
在同一坐标系内作出函数的图象，
则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标，
观察图象得，当时，；当时，；当时，，
因此ABC都可能，D不可能.
故选：D
会一题通一类
设，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，可得x，y，z的表达式，取，根据对数函数的单调性，可得x最大，分别比较与和与的大小，即可判断A的正误；取，根据对数函数的单调性，分析比较，可判断B的正误；取极小正数，根据对数的运算性质，分析比较，可判断C的正误；求出成立的必要条件是，构造函数，利用导数求得的单调性，根据对数的运算性质，可得和不可能同时成立，即可判断D的正误.
【详解】令，则，，．其中．
取，此时，，
，此时x最大．
又与比较，等价于比较7与，等价于比较49与27大小，故．
同理比较与，可得，故，故．
综上，当时，．故A是可能的．
取．此时，，，故且．
比较y和z，即与，，且是增函数，
所以，又底数，所以，故．
综上，当时，．故B是可能的．
取极小正数，取，此时，，，易知x最小．
现在比较和，即比较与，即和，比较和，
易知，故．
综上，取，．故C是可能的．
下面证明D选项不可能．若，则和同时成立．
若，则．
当时，，当时，，
同理可得，故存在，使得，
所以成立的必要条件是．
若，则，设，
则，且取时，，
等价于，
又，等价于，，易知其在时成立，
已证当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，，即恒成立，
故和不可能同时成立，即D不可能．
故选：D．
【典例7】
已知函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用导数确定函数的单调性，再构造函数并借助媒介数比较的大小即可.
【详解】函数的定义域为，求导得，
函数在上单调递增，，则；
令函数，求导得，
令函数，求导得，令函数，
求导得，函数在上递增，，函数在上递增，
，函数在上递增，，，则；
令函数，求导得，
函数在上递减，，即，则，
因此，所以.
故选：A
会一题通一类
已知任意正实数满足，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用抽象函数赋值的方法，结合具体的函数和进行验证，结合递推关系进行严格证明即可.
【详解】令 ，对任意 ，有：
由此可得递推关系：，进而推出对于正整数，.
下面验证更一般情况.
假设，代入条件得.代入不等式得：
因此，且（因）.
例如，取，则，满足，但，
说明选项A不一定成立，但B成立.
若，满足，且对 有：
此时，选项B成立，但，选项C不成立.
下面严格证明选项B
对于满足条件的任意函数，令，则：
递推可得，因此选项B 一定正确.
综上，只有选项 B（）在所有情况下成立.
故选：B.
学后测评
一、单选题
1．（2025·山东·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性， 确定a范围； 由对数函数的单调性判断的单调性，确定b的范围，利用指数函数的单调性判断单调性， 确定c范围， 最终确定a，b，c的大小.
【详解】单调递增，
因为 且
且， 故，
令， 因为， 在均单调递增， 则在单调递增，
因为
且， 故， 即 ；
令， 因为， 在R上单调递减， 故单调递减，
因为 且， 则 ，
因此.
故选：D.
2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其在时的单调性，同时分析函数的单调性，进而比较自变量的大小，最后根据的单调性得出函数值的大小关系．
【详解】因为，所以为偶函数，
当时，则，所以.
令，则，
令，解得；令0，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，可得，即在上恒成立，故在上单调递增.
令，则，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
又，所以，即，
所以，所以，即.
故选：D.
3．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解.
【详解】，
构造函数，，则，
当时，；当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
由于，，且，
则，即，
又，
所以.
故选：A.
4．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数的奇偶性、单调性，再逐项判断作答.
【详解】令函数，而函数是偶函数，则，
即函数是奇函数，当时，求导得，
即函数在上递增，则在上递增，
因为，所以，即，
所以，虽然，但不能确定与的大小，故ABC错误，D正确.
故选：D.
5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得函数是周期为2的函数，则可得，，
【详解】因为函数是偶函数，则，
又函数为偶函数，则，
即，所以函数是周期为2的函数，
则，，
且当时，是减函数，
由可得，即.
故选：C
6．（24-25高三上·江苏南通·月考）若正数，，满足（为自然对数底数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令可知在上单调递增，即可判断，再令，即可判断.
【详解】令，显然在上单调递增，
又，，为正数，所以，即，所以，
令，则在上单调递增，又，即，所以，
综上可得.
故选：D
7．（24-25高三上·江西新余·月考）设，，，则的大小关系为：（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解即可．
【详解】令，求导得，，，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以，
所以，设，则，
记，则，记，
则，所以在上单调递增，
故时，，即，
所以在上单调递增，故时，，
即，所以在上单调递增，
故时，，即，所以，
又，所以，即，所以．
故选：A
8．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据函数的奇偶性比较三个数的大小.
【详解】构造函数，
则，故函数在上递增，
所以,
又，，，
所以，
又是偶函数，则
，
所以，，，.
故选：B.
9．（2025·海南·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数利用导数确定单调性，进而比较函数值大小.
【详解】依题意，，
令，则，在上单调递增，
则，即，因此，即；
令，则当时，，函数在上单调递增，
则，因此，即.2，即，
所以.
故选：D
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
10．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可.
【详解】因为定义在上的函数满足条件，
所以函数是偶函数，
对任意，当时都有，
所以不妨设，则有，
因此时，函数是增函数，
因为函数是偶函数，
所以，，
因为时，函数是增函数，
所以，即，
故选：A
11．（2025·重庆·三模）设则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，求导分析单调性，再结合和对数的性质比较可得.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
又，即，可得，
，所以，
综上.
故选：B.
12．（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导函数和导函数值，求出函数解析式，通过导函数求出函数单调性，再构造函数比较三个数值的大小，通过函数单调性，写出三个函数值的大小关系.
【详解】由题意得，，代入得 ，解得，可得，，
令，，
可知在上，，在上单调递增，
在上，，在上单调递减，在处取得最大值，，
所以在上，则，所以在上单调递减，
设，可知，
则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以，
令，则，
令，则，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，
由可知，当时，，即，所以在上单调递增，得，即，
综上可知，，由在上单调递减得.
故选：D.
二、多选题
13．（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小.
【详解】对A，由三角函数线可知当时，，
令，可得，所以，故A对；
对B，构造函数，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以当且时，，
令，可得，即，故B错；
对C，因为当且时，，故，
所以当且时，，
令，得，即，故C对.
对D， 构造函数，，
则，，
所以在单调递增，故，即，
令，得，故D对.
故选：ACD.
14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】对于AB，由已知条件得，构造函数，利用其单调性进行判断，对于C，由幂函数的单调性结合进行判断，对于D，由已知可得，再结合的单调性分析判断.
【详解】对于AB，由得，，
所以，
设，因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，又，
所以，所以A正确，B错误；
对于C，因为幂函数在上单调递减，所以，即，C正确；
对于D，因为，所以，因为，
所以，
由选项AB可知在上单调递增，所以，D正确.
故选：ACD.
15．（2025·云南昭通·一模）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（ ）（注）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A错误；由对称性和单调性可得B正确；由对称性和对数函数的运算可得C错误；由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D正确；
【详解】为奇函数，则关于点中心对称，则，
又因为，令则，则故则关于直线轴对称.
又因为，故，则的周期为8.
对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误；
对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确；
对于C：在上也单调递增，故C错误；
对于D：则
而在上也单调递增，则，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知得到函数的对称轴，对称中心.