新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题07 利用二阶导函数解决函数问题讲义（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题07 利用二阶导函数解决函数问题讲义（2份，原卷版+解析版）
微专题教学内容
二阶导的定义
定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导.
定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作
函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值
曲线的凹凸性
设函数 y=fx 在区间 a,b 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 a,b 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 a,b 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。
解决这类题的常规解题步骤为:
求函数的定义域;
求函数的导数 , 无法判断导函数正负;
构造求 , 求 ;
列出 的变化关系表;
根据列表解答问题。
典例精讲
【典例1】
已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】在上单调递增
【分析】对求导，令，讨论与的大小，可得的单调性，即可证明，即，即可证明.
【详解】依题意，.
令，故，令，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故，即，
故函数在上单调递增.
会一题通一类
1.已知函数满足．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）对函数求导得，然后令，再求导，从而求解.
（2）利用分离常数得在区间上恒成立，从而只需求出的最大值，即可求解.
【详解】（1）因为，定义域为，得
令，则，当，得，
当，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）由题意在区间上恒成立，即恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，只需
因为，令，，
有，
所以函数在上单调递减，所以，即，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数a的取值范围为．
2.已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)函数的单调减区间是，单调增区间是
(2).
【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；
（2）利用分类讨论及函数的零点与单调性的关系，再利用导数法求函数的单调性及最值，结合函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】（1），，
，恒成立，
所以在递增.
所以当，；
，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是.
（2），
①当时，由（1）知有且只有一个零点.
②当时，，则在区间上单调递减，
所以至多有一个零点.
③当时，，，
又因为的图象在区间上连续不间断，
所以，使得，即.
令，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以，
所以无零点.
④令，当时，，
所以在区间上单调递减，
所以，有，
所以，则.
当时，，，
又因为的图象在区间上连续不间断，
所以，使得，即.
令，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以.
令.
，
又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，，
所以有且只有2个零点.
综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决此题第一问是利用二阶导数及函数单调性与导数的正负的关系即可，第二问是利用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及零点的存在性定理即可.
【典例2】
已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)证明：．
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解.
（2）设函数在存在唯一零点，根据函数的单调性的函数的最小值，只要成立即可.
【详解】（1）当时，
所以
令在恒成立，所以函数在单调递增，且
，
所以当，函数在上单调递减；
当，函数在上单调递增；
所以函数在处取得极小值，无极大值；
（2）当时，
所以．
令在恒成立
所以函数在单调递增，
且当时，；当时，，
所以函数在存在唯一零点，
即，
且当，函数在上单调递减；
当，函数在上单调递增,
所以函数在处取得极小值,
也为最小值，
要证不等式成立，
即证成立，
即
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.
【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．
会一题通一类
已知函数，.（注：是自然对数的底数）
(1)若无极值点，求实数的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）法一，易知，无变号零点，考虑后参变分离为，原问题等价于的图像与无相交交点；法二，构建，分，，结合根的存在性定理即可求解；
（2）法一，式子转化为，即证即可，易知，则，分，， 讨论即可；法二，转化为，求的最大值即可.
【详解】（1）（方法一）易知，由无极值点可知，
无变号零点，令（*），
显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意；
故当（*）可变形得，
令，原问题等价于的图像与无相交交点，
又，则，，单调递增；
，，单调递减；
又趋于，趋于；趋于，趋于；.
可得的图象如图：
由图可知，解得，
综上，
（方法二）构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当，；当，，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，，
设，，故，
故在上为增函数，
故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点.
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：
（2）（方法一）由可知，，
即，
令，即证，
易知，
则，
若，即时，
则，，单调递增，，不符合题意；
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
又，故令，
解得，即，
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
故令
，
记，则恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，
即对于任意，恒成立，
综上所述，
（方法二）①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，设，
则
.
可设，可得，
设，，
由，可得恒成立，可得在上单调递增，
在上单调递增，所以，
即恒成立，即在上单调递增，所以，
再令，可得，
当时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
所以，
所以，综上可得的取值范围是.
【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，可通过构造函数，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值.
【典例3】
已知函数，.
(1)证明：当时，；
(2)若，求a的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用二次导数讨论函数在单调性，由单调性可证；
（2）先根据在处的导数符号可得，然后利用放缩放判断导数符号，再根据单调性即可验证；
（3）利用不等式，结合放缩法和裂项相消法可证.
【详解】（1），记，
，故单调递增，
又，单调递增，
所以，即.
（2），，若时，，则存在区间，使得单调递增，
故必有，即，验证：当时，.
由（1）可知，
，即在上单调递增，满足题意，
综上，.
（3）由（2）可知，当，时，，取，
则①，
.
②，，
综上.
【点睛】本题不等式直接证明难度较大，对于此类不等式经常需要进行适当的放缩，本题难点在于利用（2）中结论，以及不等式问题中一些常见结论进行转化，要求学生熟记常见结论并能灵活运用.
会一题通一类
已知函数，．
(1)当时，求证：．
(2)令，若的两个极值点分别为m，n（m