新高考数学二轮复习压轴题提升训练专题02 比大小难题的构造函数与放缩方法全归纳（2份，原卷版+解析版）

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压轴分析
高考数学中，比大小难题往往涉及复杂的代数式或超越函数，直接计算或比较极具挑战性。真正的压轴难点在于如何灵活构造函数并运用放缩技巧，将抽象问题转化为具体函数性质的分析。命题人常通过设计形如ab 与 ba 或混合对数、指数的不等式来设置障碍，其核心是检验学生能否识别结构特征，选择恰当的中间量或函数模型。解题的关键在于建立“构造-放缩链”：首先根据待比较式子的特征构造函数，利用导数分析其单调性、极值等性质；然后通过放缩法简化式子或建立不等式桥梁，最终实现大小比较。掌握“观察结构→构造函数→放缩转化”的思想路径，方能从复杂比较中精准破局。
知识总结
两类经典超越不等式
，，，
泰勒不等式
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
不等式放缩
，，
，，
，
，
放缩程度综合
，
帕德近似
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：
，
且满足：，，，…，．
注：，，，
典例精讲
【典例1】
（2025·江西赣州·一模）已知，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数和对数运算，先估算出的取值范围，再用对数运算来估算和，即可得到判断.
【详解】由换底公式等价变形得：，
因为，两边取以7为底的对数可得：，
又因为，两边取以7为底的对数可得：，
可知，
由，可得，
由，可得，
从而可得，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是借助已知数据和指数对数运算，可以估算出，从而可以让与有理数进行大小比较.
会一题通一类
1．（25-26高三上·四川乐山·月考）若则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数运算比较和的大小，利用构造函数结合导数判断单调性比较的大小，由此得到大小关系.
【详解】，
，
，
因为，所以，即
因为，即，
因为，
构造函数，
求导，
当时，，只需分析分子的正负，
设，求导，
因为，所以，则，所以在上单调递增，
那么当时，，即，
所以分子，则，所以在上单调递减，
且，所以，即，
综上可得.
故选：C.
【典例2】
（2025·四川·一模）已知正实数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将变形为，可判断，继而变形为，推出，即可求解.
【详解】因为，故，即，
因为，所以；
又，结合，可得，
而，
即得，即，则必有，
则，即选项A中不等式成立，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将变形为，继而变形为，即可求解.
会一题通一类
1．（2025·四川成都·三模）（多选）若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过对已知等式进行变形，构造，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结合特殊值法，逐个判断.
【详解】已知，将等式进行移项可得.
根据对数运算法则，进一步变形为.
因为，则，
所以，
令，对求导可得，所以在上单调递增.
因为，，，
所以，
根据的单调性可知，即，
再根据对数函数的性质，所以，C错，D对；
若，此时，且，
而，
所以，则，此时，排除A，
若，此时，且，
若时，，必有，排除B；
故选：D.
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】对于AB，由已知条件得，构造函数，利用其单调性进行判断，对于C，由幂函数的单调性结合进行判断，对于D，由已知可得，再结合的单调性分析判断.
【详解】对于AB，由得，，
所以，
设，因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，又，
所以，所以A正确，B错误；
对于C，因为幂函数在上单调递减，所以，即，C正确；
对于D，因为，所以，因为，
所以，
由选项AB可知在上单调递增，所以，D正确.
故选：ACD.
【典例3】
（2025·福建泉州·模拟预测）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令，得，
在同一坐标系内作出函数的图象，
则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标，
观察图象得，当时，；当时，；当时，，
因此ABC都可能，D不可能.
故选：D
会一题通一类
1．（2025·广东·模拟预测）设，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，可得x，y，z的表达式，取，根据对数函数的单调性，可得x最大，分别比较与和与的大小，即可判断A的正误；取，根据对数函数的单调性，分析比较，可判断B的正误；取极小正数，根据对数的运算性质，分析比较，可判断C的正误；求出成立的必要条件是，构造函数，利用导数求得的单调性，根据对数的运算性质，可得和不可能同时成立，即可判断D的正误.
【详解】令，则，，．其中．
取，此时，，
，此时x最大．
又与比较，等价于比较7与，等价于比较49与27大小，故．
同理比较与，可得，故，故．
综上，当时，．故A是可能的．
取．此时，，，故且．
比较y和z，即与，，且是增函数，
所以，又底数，所以，故．
综上，当时，．故B是可能的．
取极小正数，取，此时，，，易知x最小．
现在比较和，即比较与，即和，比较和，
易知，故．
综上，取，．故C是可能的．
下面证明D选项不可能．若，则和同时成立．
若，则．
当时，，当时，，
同理可得，故存在，使得，
所以成立的必要条件是．
若，则，设，
则，且取时，，
等价于，
又，等价于，，易知其在时成立，
已证当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，，即恒成立，
故和不可能同时成立，即D不可能．
故选：D．
3．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知得，即有同号或，结合不等式的性质判断各项的正误.
【详解】两边取对得，则且，即同号或，
所以，当时，不成立，A错；
由，B对；
由，若时，，C错；
由，且，
当时，，此时，D错.
故选：B
【典例4】
（2025·陕西汉中·模拟预测）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】首先分析得出函数在上单调递增，故只需构造函数比较出的大小关系即可求解.
【详解】已知函数是定义在上的奇函数，所以，
又因为，所以，
所以函数的周期是4，
因为时，，
求导得，
所以在上单调递增，所以函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，
由于，则；
令函数，求导得，
令函数，求导得，
令函数，求导得，
所以函数在上递增，，
函数在上递增，，
函数在上递增，，，则；
令函数，求导得，
函数在上递减，，即，则，
因此，所以.
故选：CD.
会一题通一类
1．（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导函数和导函数值，求出函数解析式，通过导函数求出函数单调性，再构造函数比较三个数值的大小，通过函数单调性，写出三个函数值的大小关系.
【详解】由题意得，，代入得 ，解得，可得，，
令，，
可知在上，，在上单调递增，
在上，，在上单调递减，在处取得最大值，，
所以在上，则，所以在上单调递减，
设，可知，
则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以，
令，则，
令，则，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，
由可知，当时，，即，所以在上单调递增，得，即，
综上可知，，由在上单调递减得.
故选：D.
【典例5】
（24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，求导，得到在上单调递增，可直接判断B、C选项；举出反例，设，可判断A、D选项.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
B选项，由，即，可得，故B错误；
C选项，由，即，可得，故C正确；
A选项，因为，不妨设（为常数），
即（为常数），所以，
令，故，当时，为常数函数，
此时，即，所以，故A错误；
D选项，根据上述分析，，（为常数），
故，，令，，
当时，，在上单调递减，
所以，则，故D错误.
故选：C.
会一题通一类
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得，进而得即可判断A，由猜想，利用数学归纳法验证，即可判断BD，由，利用即可判断C.
【详解】由题意有，得，所以，故A错误；
因为
，，由有，
所以，，
猜想，当时，显然成立，
假设时，猜想成立，即，当时，，即成立，所以，
所以，故D正确，B错误，
当时，，所以有，又，所以，
，
，故C错误.
故选：D.
热点预测
1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用导数确定函数的单调性，再构造函数并借助媒介数比较的大小即可.
【详解】函数的定义域为，求导得，
函数在上单调递增，，则；
令函数，求导得，
令函数，求导得，令函数，
求导得，函数在上递增，，函数在上递增，
，函数在上递增，，，则；
令函数，求导得，
函数在上递减，，即，则，
因此，所以.
故选：A
2．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系.
【详解】令，则，
在上单调递增，，
即，，又，，即；
令，则，
令，则，在上单调递减，
，在上单调递减，
，即，；
综上所述：.
故选：C.
3．（2025·上海嘉定·一模）若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令，得，
在同一直角坐标系内作出函数，的图像，
则分别是函数，的图像与直线交点的纵坐标，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
观察图像得当时，，
当时，，
当时，，
所以ABC是可能的，D不可能.
故选：D
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知指数函数，若满足，且均大于，则的大小关系为（ ）
A．且B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数的运算法则由得到的关系式，再代入到中，结合指数函数的单调性，可得到中的最小的数为，结合选项可得答案.
【详解】由，利用对数性质，得：
，
因此，，即，
利用换底公式得：
综上，，，且 .
代入 得：
，，
，
因为，所以，，
又由在上单调递增，所以,
因为大小关系不能确定，所以大小关系不确定，故BCD错误.
故选：A
5．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令判断A；令得到即可判断B、C；进而有当且时，，两边求和判断D.
【详解】令，则且，可得，A错；
令，则，可得，即，B错；
由上分析，，，则，
所以，C对；
当且时，，所以，D错.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据递推式得到为关键.
6．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知任意正实数满足，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用抽象函数赋值的方法，结合具体的函数和进行验证，结合递推关系进行严格证明即可.
【详解】令 ，对任意 ，有：
由此可得递推关系：，进而推出对于正整数，.
下面验证更一般情况.
假设，代入条件得.代入不等式得：
因此，且（因）.
例如，取，则，满足，但，
说明选项A不一定成立，但B成立.
若，满足，且对 有：
此时，选项B成立，但，选项C不成立.
下面严格证明选项B
对于满足条件的任意函数，令，则：
递推可得，因此选项B 一定正确.
综上，只有选项 B（）在所有情况下成立.
故选：B.
7．（2025·四川·模拟预测）若实数，且，则、的关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知等式变形得出，对于A选项，得出，构造函数；对于BC选项，，构造函数；对于D选项，，构造函数，利用导数这三个函数的单调性，逐项分析即可.
【详解】因为实数，且，所以，则，
对于A选项，则，
令，其中，则，故函数在上单调递减，
当时，；当时，，
故当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，则.A选项不合乎要求；
对于B选项，，
令，其中，则，
当时，，即函数在上为增函数，
当时，，即函数在上为减函数，
故函数在处取得最大值，即，
综上所述，当时，，B选项不合乎要求；
对于C选项，由A选项可知，当时，，
此时，则.C选项不合乎要求；
对于D选项，，令，其中，则，
由得，可得，解得，
由得，可得，解得.
故函数的减区间为，增区间为，
所以函数在处取得最小值，即，故，
故，D选项合乎题意.
故选：D.
模拟训练
一、单选题
8．（2023·湖北武汉·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.
【详解】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
9．（2025·四川自贡·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，可判断，，得解.
【详解】，
，
，则，
又，，
.
故选：C.
10．（2025·重庆·一模）已知函数 满足: ① 是偶函数; ②在 上为增函数. 若 ， 且 ，则 与 的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【答案】A
【分析】根据是偶函数，可得函数图象关于对称，则在 上为减函数，讨论两种情况，分别利用单调性比较大小，即可得答案.
【详解】不妨设，
由是偶函数，则，即，
即函数 的图象关于对称，且，
因为在上为增函数，所以在上为减函数，
因为，且，所以，
若则，则，即；
若因为，则，所以；
综上可得：.
故选：A.
11．（24-25高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造并利用导数研究其单调性比较函数值大小，进而判断各项的正误.
【详解】令，则，即在R上单调递减，
所以，则，，，，
由，则，
所以，，，.
故选：D
12．（2025·广东中山·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性得到一些不等式关系，再对、、进行变形，然后利用这些不等式关系比较、、的大小.
【详解】已知，根据对数运算法则，
可得.
由完全平方公式，则.
根据三角函数的平方关系以及二倍角公式，
所以，即.
又已知，可变形为.
设，.
对求导，可得.
因为的值域是，所以，这表明在上单调递增.
那么，把代入得，所以在上恒成立.
令，则，即.
设，.
对求导，可得.
因为，所以，即在上恒成立，这表明在上单调递增.
所以，把代入得，则在上恒成立.
令，则，又因为，所以，即.
设，对求导，可得.
因为时，，所以在上恒成立，这表明在上单调递增.
所以，把代入得，
即在上恒成立.
令，则，得到，即.
综上，， 即.
故选：B
13．（2025·河南新乡·模拟预测）定义在上的函数恒满足：①当时；②，若数列满足，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，代入求得，且由当时，结合定义法可证明是减函数，由，，可得，再用归纳法得数列的周期，从而得所求.
【详解】令，则，解得或，
若，当时，矛盾，所以，
令，则，
当时，，所以，
即，，
，则，而当时，，于是，
则，
即，所以函数在上R单调递减；
又，则，所以，
，
故是以3为最小正周期的周期数列，
，，，，
，，，
即，
在上单调递减，，
故选：C.
14．（2025·重庆·三模）设则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，求导分析单调性，再结合和对数的性质比较可得.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
又，即，可得，
，所以，
综上.
故选：B.
15．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系.
【详解】由已知可得：，令，
则，
且，
再令，则，
当时，，即函数在上为增函数，
当时，，即函数在上为减函数，
，
在上恒成立，在上为减函数；
，，即.
故选：C.
16．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数导数，判断函数单调性，再根据函数单调性，比较函数值的大小，判断结果.
【详解】由题意得，
令，即，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
可知，
所以为偶函数，可知
令，则，
令，即，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，，
，即，
所以，即，
所以，即.
故选：A.
17．（2025·福建泉州·模拟预测）已知.则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为，分别构造和，
利用其单调性，比较的大小关系，进而得到的大小关系.
【详解】因为，
所以，
，
令，
，令，
则，所以在单调递减，
所以，所以在恒成立，
所以在单调递减，所以，
所以，即，所以.
，
令，则，
令，则，
所以在单调递减，所以，
所以在恒成立，所以在单调递减
所以，所以，即，
所以，即.
综上，.
故选：B.
18．（25-26高三上·湖北·期中）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用导数可判断函数在单调递增.
解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案；
解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案；
解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案.
【详解】，
当时，，
故函数在单调递增.
解法一：构造函数，
，
故函数在单调递减，
则.
解法二：对数糖水不等式：.
先证明糖水不等式：，
理由：，
故
.
解法三：，
，
.
故选：C.
19．（2025·湖北·模拟预测）已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由为奇函数得到，再由的单调性可推得的单调性，根据对称性可得，再比较的大小即可得解.
【详解】因为为奇函数，所以，
令，则，故，
又在上单调递增，所以当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
又因为，则
.①
在①式中令，可得，故，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
由于，故上式等号不成立，则，
又，所以，即，即，
同理可得，所以，
所以，即.
故选：C.
二、多选题
20．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】分别绘制函数，通过三个函数的图像彼此之间的位置关系逐项分析.
【详解】设，
则，当时，单调递减，当时，单调递增，，
，当时，单调递减，；
单调递增，并且，；
的大致图像如下：

又 ，并且，是减函数，，是增函数，，，
不是单调的函数，对于，对应和，并且，
又设，
，当时，单调递增，时，单调递减，，
即当时，，，AB正确；
对于选项CD，由于不能确定对应的自变量是还是，所以不能确定其正确性.
故选：AB.
【点睛】画出函数图像，大致确定三条曲线彼此之间的位置是解题的关键
21．（23-24高二上·山西大同·期末）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据对数运算性质转化已知得，构造函数，根据函数单调性可得，从而可判断.
【详解】等式，等号两边同除以，
可得，
所以，
所以，
所以，
构造函数，则，
显然，函数在定义域内是增函数，
所以，即．
而，而，
故，故，故D正确.
故选：AD．
【点睛】构造函数，利用函数单调性证明不等式.
22．（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小.
【详解】对A，由三角函数线可知当时，，
令，可得，所以，故A对；
对B，构造函数，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以当且时，，
令，可得，即，故B错；
对C，因为当且时，，故，
所以当且时，，
令，得，即，故C对.
对D， 构造函数，，
则，，
所以在单调递增，故，即，
令，得，故D对.
故选：ACD.
23．（2025·山东聊城·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意的，不等式恒成立，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】令，可判定A正确；令，可得，结合，可判定B正确；令，得到，可判定C错误；设，得到，设，利用导数，求得在上单调递增，证得，进而可判定D正确.
【详解】对于A，令，得，所以A正确；
令，可得，
因为，所以，所以，所以B正确；
对于C，令，则，所以，所以C错误；
对于D，设，则，即，
所以，
所以，所以，
设，则，所以在上单调递增，
则，所以，所以，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
四、00
24．（2025·辽宁·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，构造函数，利用导数分析其单调性，可得函数在上单调递增，结合可得，进而得到，再通过比较和的大小得到，进而得出选项.
【详解】，
设，
则，
设，则，
令，得，
所以函数在上单调递减，又，
所以当时，，则，
此时函数在上单调递增，又，
所以，则，即；
又，，则，
所以.
故选：D.
25．（24-25高三上·安徽·月考）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将三个数进行恒等变形，使三个数中都出现，结合三个数据的形式构造定义域在上的函数，通过求导分析函数单调性，确定时的函数值与的大小关系，即可比较三个数的大小.
【详解】由题意得，.
令，则，
令，则，
令，则，当时，，
∴在上是减函数，且，，
∴，使得，
∴当时，，当时，，
∴在上为增函数，在为减函数.
∵，，
∴当时，，
∴在上为增函数.
∵，
∴，
∴.
②令，
则，
∴在上为增函数.
∵,
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下：
①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字，
②将看成变量，构造函数，
③分析包含的某个区域的函数单调性，
④根据函数单调性比较大小.
26．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式，以及函数，的单调性比较大小.
【详解】如图，在单位圆O中，，不妨设，
作于C点，则弧的长度，
由图易得，，即，
所以，
设，，
所以，
再令，，
，
当时，，，，
所以，
则，在单调递减，
，所以，即，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，
所以当，，即，
因为，
所以即，
所以，
故选：D.