新高考数学二轮复习提升讲与练专题06函数与导数 微专题4 函数中的构造问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题06函数与导数 微专题4 函数中的构造问题（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了考点透析，跟踪练习等内容，欢迎下载使用。
微专题4 函数中的构造问题
一、考点透析
考点1 同构法构造函数
同构法构造函数，往往根据所给代数式（等式、不等式）中的相同点或者结构形式，构造具体的函数解析式，从而可以利用导数研究函数的相关性质.
1．（25-26高三上·山东济南·期中）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为
【答案】
【详解】
令，即，则为奇函数，
当时，，则在上单调递增，
故在区间上单调递增，则在上单调递增，
∵，即，
∴，解得．
故答案为： .
2．（25-26高三上·四川南充·月考）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，，
所以函数是定义在上的偶函数，
由条件可知，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
不等式，
即，
即，
所以，即，得，
解得：.
故选：C
3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的可导函数满足，且在上有，若实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】由，得，
令，则，即为偶函数．
又当时，，所以在上单调递减，
因为，即，
又为偶函数，所以，所以，
即，解得，
所以的取值范围为．
故选：B
考点2 利用f（x）与xn构造
方法特征：（1）如果题目中出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
（2）如果题目中出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f（x）xn.
1．（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）定义在上的函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，则，
因为，所以，
所以在上单调递减.
因为，所以，
所以，即，
所以，但不一定成立；，但不一定成立；
，但不一定成立.
故选：A
2.（25-26高三上·宁夏固原·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，则之间的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】构造函数，则，
当时，不等式成立，
∴当时， ，函数单调递减.
∵函数是定义在上的偶函数，∴，
则在上是奇函数，∴在上是减函数.
而，
由，得，即.
故选：C.
3．（25-26高三上·山西朔州·月考）已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式 的解集为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设，
因为函数 是定义在 上的偶函数，所以也是定义在 上的偶函数.
又当时，，
因为当 时， ，所以，即在上单调递增，
又是定义在 上的偶函数，所以在上单调递减.
由,
即.
所以.
故选：B
考点3 利用f（x）与ex构造
方法特征：（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝enxf（x）；
（2）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝f（x）enx.
1．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，则，
因为对任意实数x，都有，所以，所以为定义在上的减函数，
因为为奇函数，所以，则，所以，则不等式转化为，即，由于函数在定义域上单调递减，所以，故不等式的解集是．
故选：C．
2．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则，
由得，所以，
即在R上单调递减，
由为奇函数，可知，即，则，
不等式等价于，即，
因为在R上单调递减，所以解集为.
故选：A
考点4 利用f（x）与sin x，cs x构造
方法特征：（1）F（x）＝f（x）sin x，F'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cs x；
（2）F（x）＝f（x）sinx，F'（x）＝f'(x）sinx－f（x）csxsin2x；
（3）F（x）＝f（x）cs x，F'（x）＝f'（x）cs x－f（x）sin x；
（4）F（x）＝f（x）csx，F'（x）＝f'(x）csx＋f（x）sinxcs2x.
1．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，，令函数，
求导得，函数在上单调递增，
因此，又是定义域为的偶函数，则，
而，则．
故选：B
2．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，，即；
当时，，即.
故当时，，，四个选项均成立.
当，时， 化简得 .
先考虑函数，.
则，故在上单调递增.
因为，所以.因为，所以，即.
若，，则，根据的单调性，可知.
故此情况下，，.可排除B、D选项.
若，，则，根据的单调性，可知.
故此情况下，，.可排除A选项.
综上，当满足题目条件时，恒成立.
故选：D
考点5 双变量函数同构
1．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知是定义域为的函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，对任意的，都有，即
，
令，由单调性的定义可得在上单调递增，
当时，，在上单调递增；
当时，在上单调递增，所以，解得；
当时，在上单调递增，所以，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
2.（2025·温州高三统一测试）已知x，y∈R，则“x＞y＞1”是“x－ln x＞y－ln y”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【详解】（1）设f（t）＝t－ln t，t＞0，则f'（t）＝1－1t＝t－1t，
由f'（t）＞0得t＞1，由f'（t）＜0得0＜t＜1，
∴f（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
∴当x＞y＞1时，f（x）＞f（y），即x－ln x＞y－ln y成立，故充分性成立.
但x－ln x＞y－ln y成立时，可能有x＝1e，y＝1，此时x＜y，故必要性不成立.
综上，“x＞y＞1”是“x－ln x＞y－ln y”的充分不必要条件.
故选A.
考点6 指对互化构造函数
1.（2025·烟台期末）已知函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝ln x＋x－2，若∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为 .
【答案】－1e
【详解】∵∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），
∴ex1＋x1－2＝ln x2＋x2－2，即ex1＋x1＝ln x2＋x2＝eln x2＋ln x2.
令h（x）＝ex＋x，x∈R，则h'（x）＝ex＋1＞0，
∴函数h（x）在R上是增函数，∴x1＝ln x2，即x2＝ex1，
∴x1x2＝x1·ex1.令u（x）＝xex，x∈R，则u'（x）＝（x＋1）ex，
当x＜－1时，u（x）单调递减，当x＞－1时，u（x）单调递增，
可得x＝－1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（－1）＝－1e.
2．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）若，当时，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】等价于，
即等价于，即等价于．
令，
则条件等价于，当时，，
即函数在上单调递减，即，则．
又，，所以，
所以实数的取值范围是．
故选：A.
考点7 函数同构与奇偶性综合
1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【详解】由题得：，
即，从而（其中为常数），，又，
，因为的定义域为R，且，则为偶函数，
又因为，当时，，
因为均在上单调递增，则在上单调递增，则，结合，
则在上恒成立，且仅在时取等号，
则可判断是偶函数且在单调递增，，解得或，
故选：B．
2．（25-26高三上·新疆·月考）已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，求导得，
，则，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
故在内单调递增，在内单调递减，
又是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，
由，可得，
即，则，
故有，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
二、跟踪练习
1．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】构造函数，其中，
则，所以在上单调递增，
由，，，
因为，所以，所以.
故选：C.
2．（2025高三·全国·专题练习）设在上可导函数满足，并且在上有，实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意设，
则，
又 ，所以，
那么，
即则为奇函数，其，则单调递减．
又，，
则，
即，所以，
故选:B．
3．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．无法比较大小
【答案】B
【详解】∵，即，
令，则
即在上单调递增，
∵
∴，即，
则，即.
故选：B
4．（江西省景德镇市2026届高三上学期第一次质量检测数学试题）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，
则，
所以为偶函数，
当时，，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以
因为
所以，
所以，
所以，
故选：A.
5.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则（ ）
A.ab＞eB.b＞ea
C.ab＜eD.b＜ea
【答案】B
【详解】由aea＜bln b，得ealn ea＜bln b.
设f（x）＝xln x（x＞0），因为a＞0，则ea＞1，
因为b＞0，且bln b＞aea＞0，则b＞1.
当x＞1时，f'（x）＝ln x＋1＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，
ealn ea＜bln b，即f（ea）＜f（b），所以ea＜b.
故答案选B.
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域的解集是均为R，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，即，
由的原函数为，
从而可构造函数，
则，
所以在R上单调递增，
故，即，
整理得.
故选：C