新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题08 利用洛必达法则解决导数问题讲义（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题08 利用洛必达法则解决导数问题讲义（2份，原卷版+解析版）试卷主要包含了 洛必达法则可处理 型等内容，欢迎下载使用。
微专题教学内容
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点a的去心 "" \t "" 邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)，
那么 =。 型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点a的去心 "" \t "" 邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)，
那么 =。 型
注意：
1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理 型。
3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
, 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
典例精讲
【典例1】
两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ）
A．B．C．1D．2
会一题通一类
1.们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
2.①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
【典例2】
已知 恒成立, 求 的取值范围
会一题通一类
1.若不等式对于恒成立，求的取值范围.
2.已知.
（1）求的单调区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
学后测评
一、单选题
1．（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
3．（2025高三·全国·专题练习） ．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ．
三、解答题
5．（2024高三·全国·专题练习）恒成立,求的取值范围
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
7．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，满足，满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)试比较与的大小，并说明理由．
(3)是否能小于等于一个常数？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
8．（2023高三·全国·专题练习）设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
9．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）记函数 ；
(1)求函数 的极值点个数；
(2)记函数 的极值点为 ，证明：
① ；
②数列 单调递减．
(提示： 时， )
10．（23-24高三上·重庆·开学考试）设函数，，，且有唯一零点.
(1)求a的取值范围；
(2)证明：存在三个零点；
(3)记的零点为p，最小的零点为q，证明：，其中e是自然对数的底数.