新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第08讲 构造函数比较大小（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习《导数》专项培优练第08讲 构造函数比较大小（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了 考查频次与分值， 考查内容分布， 考场时间分配，利用函数与方程的思想构造函数，转化为两函数图象交点的横坐标，特殊值法，基本不等式法，其他放缩等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
思维导图 \l "_Tc8008" PAGEREF _Tc8008 \h 2
\l "_Tc30662" 高考分析 PAGEREF _Tc30662 \h 2
\l "_Tc9212" 学习目标 PAGEREF _Tc9212 \h 3
\l "_Tc13301" 知识要点 PAGEREF _Tc13301 \h 4
\l "_Tc25898" 解题策略 PAGEREF _Tc25898 \h 12
\l "_Tc4446" 题型归纳 PAGEREF _Tc4446 \h 12
\l "_Tc25528" 题型01：构造lnxx型函数比大小 PAGEREF _Tc25528 \h 12
\l "_Tc25717" 题型02：构造xlnx型函数比大小 PAGEREF _Tc25717 \h 23
\l "_Tc17617" 题型03：放缩比大小 PAGEREF _Tc17617 \h 25
\l "_Tc24117" 题型04：取对数后比大小 PAGEREF _Tc24117 \h 39
\l "_Tc31760" 题型05：构造其它函数比大小 PAGEREF _Tc31760 \h 42
\l "_Tc22548" 题型06：泰勒展开公式麦克劳林展开比大小 PAGEREF _Tc22548 \h 76
\l "_Tc2108" 题型07：帕德逼近 PAGEREF _Tc2108 \h 83
\l "_Tc15452" 题型08：一题多解 PAGEREF _Tc15452 \h 84
\l "_Tc24227" 巩固提升 PAGEREF _Tc24227 \h 93
构造函数比较大小是高考导数模块的核心常考题型，多以选择题、填空题压轴形式出现，偶尔融入解答题小问，侧重考查函数思想、导数工具应用和代数变形能力，是区分中档与高分段的关键考点。
1. 考查频次与分值
①全国卷/新高考卷：年均考查1道，分值5分，近5年新高考Ⅰ/Ⅱ卷、全国甲/乙卷均有涉及，属于高频必考点。
②题型定位：多为选择题11/12题、填空题15/16题，难度中等偏上，极少作为解答题单独考查，常与导数单调性、极值、放缩法结合。
2. 考查内容分布
考查类型 占比 核心载体
单变量同构型比较 40% 、、等基础结构
变量分离型比较 35% 指数、对数、幂函数混合式，需移项统一结构
放缩辅助型比较 15% 结合、等常用放缩
双变量关联型比较 10% 依托函数对称性，比较等量（新高考创新方向）
3. 考场时间分配
①该类题型解题时间控制在3~5分钟，若1分钟内无法识别构造结构，可先标记跳过，避免挤占解答题时间；
②双变量问题若思路不清，可利用特殊值法（如取满足条件的x1、x2代入）快速排除错误选项，提高正确率。
结合高考考情与题型特征，从知识、能力、素养三个维度制定分层学习目标，兼顾基础掌握与应试提分，实现从“会做”到“快做、做对”的进阶。
一、基础层级目标（全员必达）
1. 知识掌握
① 熟记构造函数比较大小的核心原理：利用函数单调性，将代数式大小比较转化为同一函数不同自变量的函数值比较。
②掌握5类高频基础构造模型的定义域、导数、单调性与极值特征。
③牢记2个核心放缩公式及适用条件。
2. 能力达成
①能识别单变量同构型题型，直接提取统一结构构造函数，完成基础的代数式大小比较。
② 掌握基本代数变形技巧：指对互化、移项整理、恒等变形，将简单的异结构式子转化为同结构形式。
③规范完成构造函数→求导→判单调性→比大小的标准化解题步骤，无逻辑疏漏。
3. 应试要求
能独立解决高考中基础难度的构造比较大小题（选择题11题前、填空题15题前），正确率≥95%，耗时≤2分钟。
二、提升层级目标（中档提分）
1. 知识深化
①拓展掌握复合型构造模型：能分析含参数构造函数的单调性。
②理解放缩法的进阶应用：知道基础放缩公式的反向应用与精度边界，能判断何时需放弃纯放缩、改用构造函数。
③掌握变量分离型题型的构造逻辑，明确“指对分边、幂函结合”的变形原则。
2. 能力突破
①能处理变量分离型和放缩辅助型题型，通过移项、拆分、放缩预处理，将复杂式子转化为可构造的同结构形式。
②具备导数分析纠错能力：能排查求导错误、定义域遗漏、单调性区间误判等常见问题。
③学会特殊值验证法：对不确定的结论，通过取特殊值快速检验，规避解题失误。
3. 应试要求
①能独立解决高考中等难度的构造比较大小压轴小题（选择题12题、填空题16题基础问），正确率≥90%，耗时≤3分钟。
②能应对含参数、含复合函数的构造比较问题，做到思路清晰、步骤完整。
三、拔高层级目标（高分冲刺）
1. 知识综合
①掌握双变量关联型题型的核心知识：结合函数极值点偏移、对称性，理解对称构造、换元转化的底层逻辑。
②积累精细放缩技巧：能根据题型构造专属放缩辅助函数，突破基础放缩精度不足的问题。
③融合跨模块知识：结合函数奇偶性、周期性、不等式性质，实现多维度构造解题。
2. 能力升华
①具备题型快速识别能力：扫读题干即可判断题型类型（单变量/双变量/放缩辅助），并锁定最优构造方案，形成条件反射。
② 拥有构造创新能力：面对陌生结构的代数式，能通过逆向思维、类比迁移，自主构造合适的函数，而非依赖套路。
③ 掌握双变量转化技巧：熟练运用“换元”“对称化构造”，将双变量问题转化为单变量问题求解。
3. 应试要求
① 能攻克高考压轴难度的双变量构造比较大小题，正确率≥85%，耗时≤5分钟。
②能将构造函数思想迁移到导数解答题中，解决与不等式证明、参数范围结合的综合问题。
四、素养层级目标（长期提升）
1. 培养函数与方程思想：学会用函数视角看待代数式的大小关系，建立“式子→函数→性质”的转化思维。
2. 提升逻辑推理素养：通过严谨的导数分析、单调性判断，形成步步有据的推理习惯，规避主观臆断。
3. 强化数学运算素养：熟练掌握导数运算、代数变形的技巧，提升运算的准确性与速度。
知识点一：指、对、幂数比较大小的一般方法
方法1单调性法：
当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y=ax的单调性；
②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数y=xa单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如lgax1和lgax2，利用指数函数lgax单调性比较大小.
方法2中间值法：
当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．
方法3作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
方法4估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
方法5构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
方法6放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
知识点二：比较大小的其它方法
方法7.利用函数与方程的思想构造函数
结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
方法8.转化为两函数图象交点的横坐标
方法9.特殊值法
方法10.基本不等式法
方法11.平方法
知识点三：常用放缩表达式
1、常见的指数放缩：ex≥x+1(x=0)；ex≤11−x,x∈−∞，1；ex≥ex(x=1)
证明1：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即
证明2：对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有
，当时，不等式两边同乘，则有，
最后得出
2.常见的对数放缩：
证明3：
对于，令，则有，可得.
3.常见三角函数的放缩：
4.其他放缩
lnx1)，lnx>x−1x(0lnxlna⇒xlna⋅exlna>xlnx=lnx⋅elnx⇒xlna>lnx⇒a>e1e；
②eλx>lnxλ⇒λeλx>lnx⇒λx⋅eλx>xlnx⇒λx⋅eλx>lnx⋅elnx⇒λx>lnx⇒λ>1e；
③eax+ax>lnx+1+x+1=elnx+1+lnx+1⇒ax>lnx+1
④；
1. 考场快速破题原则
①优先识别高频结构：看到指数与一次式结合，优先尝试f(x)=ex±kx；看到对数与一次式结合，优先尝试f(x)=lnx±kx；看到指对混合，优先统一为指数或对数形式；
②先简后繁：先尝试直接构造，若单调性不明确，再考虑移项变形或放缩辅助，不盲目构造复杂函数；
③定义域先行：构造函数后第一步明确定义域，再求导分析单调性，避免后续无效推导。
2. 高频题型考场应对技巧

①单变量同构型直接提取结构构造函数，快速求导判单调性，比自变量大小即可
②变量分离型移项时遵循“指对分边、幂函结合”原则，如直接构造
③放缩辅助型先试基础放缩公式，若失效则构造放缩辅助函数（如证明，构造）
④双变量型先分析核心函数的极值点，再利用“对称化构造”或“换元”化为单变量，减少变量个数
题型01 构造lnxx型函数比大小
【典型例题1】已知，，，则以下不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可
【详解】，，，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，
所以，，
因为，
所以，所以
【典型例题2】设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】b是函数的结构，而c可以变为，易知，故，而，则故选A
【典型例题3】，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】令，则，，，
而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.
若有两个解，则，，即，，
令，则，即在上递增，
∴，即在上，，若即，故，有，∴当时，，故
【典型例题4】设，，，则()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
法一：观察到b=ln2=12ln2=ln22，则考虑构造函数，
则a=12e=lne2e=12lnee=lnee=f(e)，c=4−ln4e2=lne4−ln4e2=2lne2−2ln2e2=lne22e22=f(e22)
故
法二：令，则，，，故
，故在上递增，即，
而，故
【变式训练1-1】设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.
【详解】令，则，
因此在上单调递减，
又因为，，，
因为，所以．
【变式训练1-2】若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解；
【详解】解：令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以
又，所以，即.
【变式训练1-3】已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，利用导数判断在上的单调性，即可得的大小关系.
【详解】令，可得，
当时，恒成立，所以在上单调递减，所以，
即，可得，，所以，，
所以，，即，.所以.故选：B.
【变式训练1-4】已知，有以下结论：①；②；③；④，则其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】构造，，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④的正误，根据的单调性及④得到③的正误..
【详解】设，，则在上恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以，即，因为单调递增，所以，①正确；
，即， 因为单调递增，所以，②错误；
因为，所以，④正确；因为单调递增，
所以，所以，③正确.
故选：C
【变式训练1-5】在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据题目特点，构造函数，则可根据函数的单调性解决问题.
【详解】首先，我们来考察一下函数，则，
令解得，令解得，
故在区间上单调递增，在区间单调递减，
所以，（1），即，即，则正确；
（2），即，即，则错误；
（3），即，
所以，，则正确
故选：C.
【变式训练1-6】实数中值最大的是 .
【答案】
【分析】由指数函数幂函数的单调性可知这4个数的最大数在与之中，令，利用导数判断出单调性可得，即可得答案.
【详解】因为，由指数函数是单调递增函数，所以，
幂函数是单调递增函数，所以，
故这4个数的最大数在与之中，
令，所以，当即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减，故函数的单调递增区间为，
单调递减区间为． 得，即．由，
得，所以；
这4个数中的最大数是.
【变式训练1-7】已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.
【详解】令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以
【变式训练1-8】若a=1e,b=ln22,c=ln33，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>c>bB．b>c>aC．c>b>aD．a>b>c
【答案】A
【解析】
【分析】
通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数fx=lnxx，通过求导分析其单调性即可得到答案
【详解】
解：a=1e=lnee,b=ln22=ln44,c=ln33，设fx=lnxx,f'x=1−lnxx2，则x>e时，f'xf3>f4，即lnee>ln33>ln44，所以a>c>b．
故选：A.
【变式训练1-9】设a=4−ln4e2，b=ln22，，则（ ）
A．a5>e，所以f7fc，
所以a>b>c，
故选：B.
【变式训练1-12】设a=ln28，b=1e2，c=ln612，则（ ）
A．a0
所以ln22>2ln39，即b>a>c.
故选：A
【变式训练1-14】设a=4−ln4e2，b=ln22，c=ln33，则（ ）
A．aelnπ⇒lneπ>lnπe，
所以，eπ>πe，则正确
故选：C.
【变式训练1-16】若a=ln33，b=1e，c=3ln28，则（ ）
A．b>a>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b
【答案】A
【解析】
【分析】
设函数f(x)=lnxx,(x>0)，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.
【详解】
设f(x)=lnxx,(x>0)，则f'(x)=1−lnxx2，
当0c，
故选：A
【变式训练1-17】设a=4−ln4e2,b=1e,c=ln2，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a0，
令f'(x)>0，解得x>1；令f'x0，得x>0，
所以fx在−∞,0单调递减，在0,+∞单调递增.
所以fx≥f0=0，即ex−x−1≥0，当x=0时取等号.
所以a=esin1−1>sin1−1+1=sin1=b，所以.
【变式训练3-5】设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04−1，则下列关系正确的是（ ）
A．a>b>cB．b>a>c
C．c>a>bD．c>b>a
【答案】D
【解析】
【分析】
分别令fx=ex−1−xx>0、gx=ln1+x−xx>0、hx=ln1+x−x1+xx>0，利用导数可求得fx>0，gx0，由此可得大小关系.
【详解】
令fx=ex−1−xx>0，则f'x=ex−1>0，
∴fx在0,+∞上单调递增，∴fx>f0=0，即ex−1>x，则e0.04−1>0.04；
令gx=ln1+x−xx>0，则g'x=11+x−1=−x1+x0，gx单调递增，
x∈1,+∞，g'xa>bB．a>c>bC．a>b>cD．b>a>c
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数f(x)=ex−1−x，由导数确定单调性，进而即得．
【详解】
设f(x)=ex−1−x，则f'(x)=ex−1>0，在x>0时恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，
所以ex−1−x>f(0)=0，即ex>1+x，x>0，
∴e0.01>1.01，又ln1.01>0，
∴eln1.01>1+ln1.01，即1.01>1−ln100101，
所以a>b>c．
故选：C．
【变式训练3-8】若a=ln87，b=18,c=ln76，则（ ）
A．a1，则，
所以，函数fx在1,+∞上为增函数，故fx>f1=0，
则f87=ln87+78−1=ln87−18>0，即，
∵ln76>ln87，因此，.
故选：D.
【变式训练3-9】已知a=3132,b=cs14,c=4sin14，则（ ）
A．c>b>aB．b>a>cC．a>b>cD．a>c>b
【答案】A
【解析】
【分析】
由结合三角函数的性质可得c>b；构造函数，利用导数可得b>a，即可得解.
【详解】
因为,因为当x∈0,π2,sinxb；
设，
f'(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
则f14>f(0)=0,所以，
所以b>a,所以c>b>a，
故选：A
【变式训练3-10】设a=ln1.01，，c=1101，则（ ）
A．a0，fx单调递增，fx在1,+∞上f'xc，排除选项A，B.
下面比较a,b大小，由lnx≤x−1得ln1.01a>cB．c>b>a
C．b>c>aD．c>a>b
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数f(x)=csx+12x2−1，利用导数求解函数f(x)的单调性，利用单调性进行求解.
【详解】
解：设f(x)=csx+12x2−1,(00，
故g(x)在区间(0,1)上单调递增，即g(x)>g(0)=0，
即f'(x)>0，故f(x)在区间(0,1)上单调递增，
所以f15>f(0)=0，可得cs15>4950，故，
利用三角函数线可得x∈0,π2时，tanx>x，
所以tan15>15，即sin15cs15>15，
所以5sin15>cs15，故c>a
综上，c>a>b
故选：D.
【变式训练3-12】设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04−1，则下列关系正确的是（ ）
A．a>b>cB．b>a>c
C．c>a>bD．c>b>a
【答案】D
【解析】
【分析】
分别令fx=ex−1−xx>0、gx=ln1+x−xx>0、hx=ln1+x−x1+xx>0，利用导数可求得fx>0，gx0，由此可得大小关系.
【详解】
令fx=ex−1−xx>0，则f'x=ex−1>0，
∴fx在0,+∞上单调递增，∴fx>f0=0，即ex−1>x，则e0.04−1>0.04；
令gx=ln1+x−xx>0，则g'x=11+x−1=−x1+xaD．b>a>c
【答案】D
【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定a,b,c的大小关系.
【详解】令fx=ex−1−x，则f'x=ex−1，x>0，有f'x>0.
故函数fx在0,+∞单调递增，故f0.6>f0=0，
即e0.6−1>0.6，所以e0.6>1.6，即b>a，
令gx=lnx+1−x，则g'x=1x−1=1−xx，x>1，有g'x1−x22−11+x=21+x−x21+x−221+x=−xx−1x+221+x>0.
故f110>f0=0，从而b>c.
再考虑函数gx=lnx−2x−1x+1，x∈1,+∞，
则g'x=1x−4x+12=x+12−4xxx+12=x−12xx+12≥0.
故g1110>g1=0，即ln1110−21110−11110+1=ln1110−221>0，故c>a.
综上，b>c>a，
【变式训练3-21】已知a=3132,b=cs14,c=4sin14，则（ ）
A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b
【答案】A
【解析】因为当x∈0,π2,x1，所以c>b；
b−a=cs14−3132=cs14−1−132=cs14+132−1=cs14+12⋅142−1
设，f'(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
故f14>f(0)=0，所以，所以b>a，所以c>b>a，故选A
【变式训练3-22】设a=0.1e0.1，b=19，c=−ln0.9则（ ）
A. aa>cC．a>b>cD．b>c>a
【答案】C
【解析】由ae=ea，be1.2=1.2eb，ce1.6=1.6ec，得aea=1e，beb=1.2e1.2，cec=1.6e1.6，
令f(x)=xex，则f'(x)=1−xex，当xc.故选：C.
【变式训练3-24】已知a=tan20232022,b=e12023,c=20232022，则a，b，c大小关系是（ ）
A．B．alnππ⇒ln3lnπ>3π，D选项错误.故选：ACD
【变式训练3-27】已知a=ln22，b=ln3e，c=2e2，则（参考数据：）（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>a>b
【答案】B
【解析】因为a=ln22=2ln24=ln44， c=lne2e2，考虑构造函数fx=lnxx，则f'x=1−lnxx2，
当0ln22>lne2e2，又ln33ln22>lne2e2，故b>a>c，故选：B.
【变式训练3-28】已知，且，则（ ）
A．c>a>bB．b>a>c
C．a>b>cD．b>c>a
【答案】A
分析：根据指对互化将a=2,b=2.10.9,c=1.91.1，变形得lna=ln2,lnb=0.9ln2.1,lnc=1.1ln1.9，构造函数f(x)=(1−x)ln(2+x),x∈[−0.1,0.1]，求导验证其单调性，即可得函数值lna=f(0),lnb=f(0.1),lnc=f(−0.1)的大小关系，从而可得a,b,c的大小.
详细解答：
因为a=2,b=2.10.9,c=1.91.1，所以可得lna=ln2,lnb=0.9ln2.1,lnc=1.1ln1.9，
设函数f(x)=(1−x)ln(2+x),x∈[−0.1,0.1]，则lna=f(0),lnb=f(0.1),lnc=f(−0.1)，
f'x=−ln(2+x)+(1−x)⋅12+x=−ln(2+x)+32+x−1，令hx=−ln(2+x)+32+x−1，则h'x=−12+x−32+x20,f'6=−ln6+146−10时，1+4x−1+2x218=c，
构造gx=lnx−x−1，x>1，
则在1,+∞上恒成立，故gx=lnx−x−1在1,+∞单调递减，
又g1=ln1−0=0，g980)，则ℎ'(x)=ln(1+x)+1−1=ln(1+x)>0，
所以在上递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，
所以当x∈(0,+∞)时，(1+x)ln(1+x)>x，所以1.2ln1.2>0.2，
所以e0.2，所以g'(0.2)=1.2×1.20.2−e0.2=1.21.2−e0.2>0，
所以当x∈(0,0.2)时，g'(x)>0，所以在(0,0.2)上递增，所以g(x)>g(0)=0，所以(1+x)1.2>ex，
所以(1+0.02)1.2>e0.02，所以z>x，所以，所以c>a>b，故选：D
【变式训练5-5】已知x∈0,1，令a=lg3x,b=2x,c=sinx，那么a,b,c之间的大小关系为（ ）
A．B．b0，当x∈(x0,1)时，ℎ(x)0，∴在(0,1)上为增函数.∵f(0)=sin0−ln1=0，
∴f(14)=sin14−ln(14+1)=sin14−ln54>0，∴b>a.
②令φ(x)=ln(x+1)−xx+1,x∈(0,1)，则φ'(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2>0，
∴φ(x)在(0,1)上为增函数.∵φ(0)=0,∴φ(14)=ln54−0.2>0，∴a>c.故选：B.
【变式训练5-8】现有a=ln20252023，b=11012，c=sin11012−cs11012+1，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>c>bB．c>b>aC．c>a>bD．a>b>c
【答案】C
【分析】构造fx=ln1+12x−ln1−12x，gx=sinx−csx+1，则a=f11012，b=11012，c=g11012，然后求解Fx=fx−x和Gx=gx−fx的单调性即可判断出a,b,c的大小关系.
【详解】设fx=ln1+12x−ln1−12x，gx=sinx−csx+1.
由于a=ln20252023=ln2024+12024−1=ln1+12×10121−12×1012=ln1+12×1012−ln1−12×1012，故a=f11012，b=11012，c=g11012.记Fx=fx−x，Gx=gx−fx.
由于Fx=ln1+12x−ln1−12x−x，故F'x=121+12x−−121−12x−1=12+x+12−x−1=x24−x2，从而对00，f'x=1−1x=x−1x，
令f'x=0，得x=1，
所以fx在上单调递减，在1,+∞上单调递增，
函数fx的大致图象如图所示．
因为fa=f12，fb=f13，fc=fe，且a≠12，b≠13，c≠e，
则由图可知，0cB．c>a>bC．a>c>bD．a>b>c
【答案】D
【解析】
【分析】
可判断a=e1.01>2，b=3eln43，所以b>a>c，
故选：A
【变式训练5-12】设a=110，b=ln1.1，c=e−910，则（ ）
A．a0，所以x0>π12，又因为f0=0，所以当x∈0,x0时，fx=πsinx−3x>0，其中因为1100，故sin0.1>0.3π，即c>a>b.
故选：B
【变式训练5-15】已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．a>c>bD．a>b>c
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数fx=18−xlnx，x≥8，求其单调性，从而判断a，b，c的大小关系.
【详解】
构造fx=18−xlnx，x≥8，
f'x=−lnx+18x−1，
f'x=−lnx+18x−1在8,+∞时为减函数，且f'8=−ln8+94−1=54−ln80，
∴fx在0,+∞上单调递增，
∴a=e0.2>0.2+1=1.2>1.2=b，
a=e0.2>1.2=lne1.2，c=ln3.2，
∵e1.25=e6>2.76≈387.4,3.25≈335.5，
∴e1.2>3.2，故a>c，
设gx=lnx−2x−1x+1，则g'x=1x−2x+1−2xx+12=x−12xx+12≥0，
所以函数在0,+∞上单调递增，
由g1=0，所以x>1时，gx>0，即lnx>2x−1x+1，
∴ln3.2=ln2+ln1.6>22−12+1+21.6−11.6+1=1539>1550=1.1，
又1b.
故选：B.
【点睛】
本题解题关键是构造了两个不等式ex>x+1x>0与lnx>2x−1x+1(x>1)进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.
【变式训练5-17】设a=0.9，b=0.9，c=ln910e，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数f(x)=x−lnx−1，g(x)=x−x，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.
【详解】
令f(x)=x−lnx−1，因为f'(x)=1−1x=x−1x
所以，当00 ，则1+x−1=π−33>0.123=0.04，
由对于函数gx=sinx−x00，即y'在上存在零点且y'在(0,+∞)上递增，
所以y在(0,+∞)上不单调，则ea−lna0，y递增；(e,+∞)上y'b−sinb，即sina−sinba−ba>cB．c>a>bC．a>c>bD．a>b>c
【答案】D
【解析】
【分析】
分析可得a>2，b∈(1,2)，c∈(1,2)，令f(x)=lnx−xe,x∈[e,+∞)，利用导数可得f(x)的单调性，根据函数单调性，可比较和3e的大小，即可得答案.
【详解】
由题意得a=e1.01>e1>2，b=3e∈(1,2)，c=ln3∈(1,2)，
令f(x)=lnx−xe,x∈[e,+∞)，
则f'(x)=1x−1e=e−xxe≤0，所以f(x)在[e,+∞)为减函数，
所以f(3)b>c.
故选：D
【变式训练5-22】已知a=65ln1.2，b=0.2e0.2，c=13，则（ ）
A．a0，
所以函数gx在−∞,0上递减，在0,+∞上递增，
所以g0.2>g0=0，
即e0.2>1+0.2=1.2>1e，
所以fe0.2>f1.2，
即，所以b>a，
由b=0.2e0.2，得，
由c=13，得lnc=ln13，
lnc−lnb=ln13−ln15−15=ln53−15，
因为535=625×5243>10>e，
所以53>e15，所以ln53>15，
所以lnc−lnb>0，即lnc>lnb，
所以c>b，
综上所述a0，则（ ）
A．c0，得x>1；由fx0在0,π2上恒成立，
所以，函数fx在0,π2上单调递增，则fx=x−sinx>f0=0，即x>sinx，
因为13∈0,π2，则13>sin13，所以，ln1+sin130，
所以，gx在0,+∞上单调递增，
故当x>0时，gx=x−lnx+1>g0=0，即x>ln1+x，
所以，ln1+13e2，∴c>a，故c>a>b，
故选：B.
【变式训练5-26】已知a=3，b=6lg56，c=4lg53，则下列判断正确的是（ ）
A．c0,x∈0,+∞，
所以函数gx在0,+∞上递增，
所以g12>g0=0，即12−ln32>0，即12>ln32，
所以tan12>ln32，即c>b，
综上，ac，进而求解.
【详解】由b=ln10e11=ln11+0.1+1=−ln1+0.1+1.
设fx=e−x+ln1+x−1x>0，
则f'x=−e−x+11+x=−1ex+11+x，
设gx=ex−1−xx>0，
则g'x=ex−1>0，
所以函数gx=ex−1−x在0,+∞上单调递增，
所以gx>g0=0，即ex−1−x>0，
即ex>1+x>0，即1exc，
所以.
故选：B.
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小..
【变式训练5-31】设a=ln32，b=sin40°+sin80°5，c=e15−1，则（ ）
A．a0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
因为ln43b．
要比较27和ln43的大小关系，
即比较e27和eln43=43的大小关系，
即比较e和4372的大小关系，
其中，4372=27372=12833×3≈12827×1.732≈2.737，
所以eb>a.
270,a≠b，
不妨设a>b>0，即证a−ba+b0，
构造函数gx=12lnx−x−1x+1x>1，
g'x=12x−x+1−x+1x+12=12x−2x+12=x+12−2x2xx+12=x2+12xx+12>0，
所以gx在1,+∞上单调递增，g1=0，
所以当x>1时，gx>0，即12lnab−ab−1ab+1>0成立，
也即a−ba+b0在2,+∞上恒成立，gx在2,+∞上单调递增，故xlnx−(x+1)ln(x+1)ln5ln4>ln7ln6，即a>b>c
【变式训练5-41】设a=23，b=2−e13，c=1−e−23则（ ）
A．a1+csπ6−e12=1+32−e12，
而(1+32)2=1+34+3>e，所以f'(12)=1+32−e12>0，
即f(x)=1+x+sinx−ex在区间(0,12)上单调递增，所以f(0)f(5),f(e)>f(2)，再运用作差法比较f(5),f(2)即得.
【详解】设f(x)=lnxx，则f'(x)=1−lnxx2，
当0ln22，即b>c,b>a；
由ln55−ln22=2ln5−5ln210=ln253210c.
【变式训练5-41】已知实数a,b分别满足ea=1.02，lnb+1=0.02，且c=151，则（ ）
A．a2101>2102=151=c，即a>c，
由lnb+1=0.02，则b=e0.02−1，
令gx=ex−ln1+x−1，x>0，则g'x=ex−1x+1，
令hx=ex−1x+1，则当x>0时，h'x=ex+1x+12>0恒成立，
故g'x在0,+∞上单调递增，又g'0=e0−11=0，故g'x>0恒成立，
故gx在0,+∞上单调递增，故g0.02=e0.02−ln1+0.02−1>g0=0，
即e0.02−1>ln1.02，即b>a，故cc；
综上，ccB．c>a>bC．c>b>aD．b>a>c
【答案】C
【分析】构建fx=x−1−lnx,x>0，gx=x−sinx,x>0，利用导数判断其单调性，进而可得x>sinx>ln1+sinx,x∈0,1，ln11−x>x,00，解得x>1；令f'x0时，有ex>1,1x+10时恒大于零，故gx为增函数，
所以x+1ex0，而a=ln1.2e=1+ln1.2>1，所以c151，
所以，综上可得c>a>b.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数fx=tanx−ln1+x，x∈0,1，hx=−lnx−1+x，x∈0,1，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正负，达到比较大小的目的.
【变式训练5-48】a=111,b=ln1.1,c=tan0.1，则（ ）
A．c0，即ln1.1>111，即b>a，
令hx=lnx+1−x，则h'x=1x+1−1=−xx+1，
在x∈0,π2时，h'x0, 故f(x)在0,π6上是增函数，
故f(14)>f(0)=0,即a>c，
故b>a>c.
故选:A.
【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x就有了函数的形式，如在本题中a−c=2e14−1−sin14−tan14，将14视为变量可以构造函数.
题型06：泰勒展开公式麦克劳林展开比大小
常见函数的泰勒展开式：
（1）ex=1+x1!+x22!+x33!+⋯+xnn!+xn+1n+1!eθx，其中00)．
结论3 1−1x≤lnx（x>0）．
结论4 x1+x0时，1+4x−1+2x212；
构造nx=ln1+x−x,0≤x≤1，
则n'x=1x+1−1=−xx+1≤0对0≤x≤1恒成立，则nx在0,1单调递减，
此时nx=ln1+x−x≤n0=0，当且仅当x=0时取等，
所以n12=ln32−12＜0，则b=ln32f(1)=0
法二：放缩
当x>1时，由lnxa>cC．a>b>cD．a>c>b
【答案】A
【分析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b;构造函数fx=csx+12x2−1,x∈0,+∞,利用导数可得b>a,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当x∈0,π2,x1，故cb>1，所以c>b；
设，
f'(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
故f14>f(0)=0，所以，
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当x∈0,π2,sinx1−2182=3132，故b>a
4sin14+cs14=17sin14+φ，其中φ∈0,π2，且sinφ=117,csφ=417
当4sin14+cs14=17时，14+φ=π2，及φ=π2−14
此时sin14=csφ=417，cs14=sinφ=117
故cs14=117a，故选A
[方法三]：泰勒展开
设x=0.25，则a=3132=1−0.2522，b=cs14≈1−0.2522+0.2544!，
c=4sin14=sin1414≈1−0.2523!+0.2545!，计算得c>b>a，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当x∈0,π2,sinxb；设，f'(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f14>f(0)=0,所以，所以b>a,所以c>b>a，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当x∈0,π2,sinxb；因为当x∈0,π2,sinx1−2182=3132，故b>a，所以c>b>a．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈0,π2,sinxb；
设，
f'(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
故f14>f(0)=0，所以，
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当x∈0,π2,sinx1−2182=3132，故b>a
4sin14+cs14=17sin14+φ，其中φ∈0,π2，且sinφ=117,csφ=417
当4sin14+cs14=17时，14+φ=π2，及φ=π2−14
此时sin14=csφ=417，cs14=sinφ=117
故cs14=117a，故选A
[方法三]：泰勒展开
设x=0.25，则a=3132=1−0.2522，b=cs14≈1−0.2522+0.2544!，
c=4sin14=sin1414≈1−0.2523!+0.2545!，计算得c>b>a，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当x∈0,π2,sinxb；设，f'(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f14>f(0)=0,所以，所以b>a,所以c>b>a，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当x∈0,π2,sinxb；因为当x∈0,π2,sinx1−2182=3132，故b>a，所以c>b>a．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈0,π2,sinxbB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=lg910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>lg11，lg89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由9m=10可得m=lg910=lg10lg9>1，而lg9lg11lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
又lg8lg10m，
所以b=8m−90>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得．
根据a,b的形式构造函数 ，则f'(x)=mxm−1−1，
令f'(x)=0，解得x0=m11−m ，由 知x0∈(0,1) .
f(x) 在 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 ，
又因为f(9)=9lg910−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
【变式训练8-4】设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04−1．则（ ）
A．af0=0，即2ln1.01>1.04−1，即a>c；
令gx=ln1+2x−1+4x+1，则g0=0，g'x=21+2x−21+4x=21+4x−1−2x1+x1+4x，
由于1+4x−1+2x2=−4x2，在x>0时，1+4x−1+2x2ln44⇔lnπ4>ln4π⇔π4>4π⇔π2>2π，A正确；
f(3)>f(π)⇔ln33>lnππ⇔ln3π>lnπ3⇔3π>π3，B不正确；
fe>fπ⇔lnee>lnππ⇔lneπ>lnπe⇔eπ>πe，C正确；
fe>f4⇔lnee>ln44⇔lne4>ln4e⇔e4>4e，D正确；
故选：B
7．已知a=2ln3−4，b=2ln5−17−1，c=4ln2−13−1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．ab．
故选：D．
8．已知正实数a，b，c满足：a=4−ln4e2，b+2b=2，则a，b，c大小满足（ ）
A．B．C．be，则f'x=1−lnxx2，
则当x>e时，f'xfπ，
即ln33>lnππ，即πln3>3lnπ，∴ln3π>lnπ3，则3π>π3，A错误；
对于B，∵3312=34=81，4412=43=64，∴3312>4412，则33>44，B正确；
对于C，∵2ln3=ln32=ln9，3ln2=ln23=ln8，ln9>ln8，∴2ln3>3ln2，C错误；
对于D，tan1>tanπ4=1，D错误.
故选：B.
11．已知a=4ln5π，b=5ln4π，c=5lnπ4，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．aln44>ln55，可得4lnπ>πln4，5ln4>4ln5，
所以lnπ4>ln4π，5πln4>4πln5，
所以5lnπ4>5ln4π，5ln4π>4ln5π，
即c>b，b>a，
所以a0时，f'x>0，
所以函数fx在0,+∞上递增，
所以f0.42>f0=0，
即e0.42>0.42+1，
又1.422=2.0164>2，
所以e0.42>0.42+1>20.5，
所以，
又542=251654，
54−lg45=5−4lg454=lg445−lg4544=lg410246254>0，
所以20.5>54>lg45，
所以a>b>c.
故选：B.
17．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a=20222021，b=20232022，c=40454043，d=e12022，下列说法正确的是（ ）
A．B．c0，
当0x.
故选：D.
20．设a=3103，b=ln1.03，c=e0.03−1，则下列关系正确的是（ ）
A．a>b>cB．b>a>c
C．c>b>aD．c>a>b
．C
【分析】构造函数fx=ex−1−x,x≥0.利用导数判断单调性，证明出e0.03−1>0.03.构造函数gx=ln1+x−x,x≥0.利用导数判断单调性，证明出ln1.03b；构造函数hx=ln1+x−x1+x,x≥0.利用导数判断单调性，证明出ln1.03>3103，即为b>a.即可得到答案.
【详解】记fx=ex−1−x,x≥0.
因为f'x=ex−1，所以当x>0时，f'x>0，所以fx在0,+∞上单调递增函数，所以当x>0时，fx>f0=0，即ex−1>x，所以e0.03−1>0.03.
记gx=ln1+x−x,x≥0.
因为g'x=11+x−1=−x1+x0时，gx0，所以hx在0,+∞上单调递增函数，所以当x>0时，hx>h0=0，即ln1+x>x1+x，所以ln1.03>0.031+0.03=3103.
所以b>a.
综上所述：c>b>a.
故选：C
21．已知a=ln2，b=e−1，c=4−ln4e−2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．aa2，即ac>a2，所以cb>cB．c>a>bC．a>c>bD．b>a>c
B
【分析】作差法比较出，构造函数，利用函数单调性比较出c>a，从而得出c>a>b.
【详解】a−b=0.3π−0.9π2=0.3π−0.9π2>0.3×3−0.9π2=0，所以a−b>0，故，又fx=πsinx−3x，则f'x=πcsx−3在x∈0,π6上单调递减，又f'0=π−3>0，f'π6=3π2−30，在x∈x0,π6时，f'x0，当x∈(0,+∞)时f'(x)0,fx在(0,+∞)上单调递增，且f0=0，因为b>1⇒lnb>0⇒flnb>0
所以f(2a)=2f(lnb)>f(lnb)，所以2a>lnb，即b2(ea−a−1)，所以f(2a)=2f(lnb)>2f(a)，所以af72>f4，即a>b>c.
故选：C.
【点睛】比较大小通常会用到函数的单调性，本题首先需要观察a,b,c的结构，对式子进行恰当的变化，找到共性，进而构造函数，通过函数的单调性进行解决.
高考模拟
1．下列不等关系中，正确的是（e是自然对数的底数）（ ）
A．πee时，f'(x)a>c，
故选：B
3．已知a=ln22，b=1e，c=ln55，则a，b，c的大小关系为（ ）.
A．c0，所以fx在R上递增，有f2>f0=0，所以b>a，所以c0恒成立，若a=20.3f20.3，b=lgπ2flgπ2，，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．b>a>cD．a>c>b
【答案】C
【分析】设gx=xfx，由奇偶性定义知gx为偶函数，结合导数和偶函数性质可确定gx在0,+∞上单调递减，由指数和对数函数单调性可确定lg24>20.3>lgπ2>0，结合偶函数性质和单调性可得glgπ2>g20.3>glg214，由此可得大小关系.
【详解】设gx=xfx，则g−x=−xf−x=xfx=gx，∴gx为定义在上的偶函数；
当x∈−∞,0时，g'x=fx+xf'x>0，∴gx在−∞,0上单调递增，
由偶函数性质可知：gx在0,+∞上单调递减，
∵lg24=2>20.3>1>lgπ2>0，∴glgπ2>g20.3>glg24，
又glg24=g−lg24=glg214，∴glgπ2>g20.3>glg214，
即b>a>c.
故选：C.
8．已知a=ln33,b=e−1,c=(9−3ln3)e−3，则a，b，c的大小为（ ）
A．a0恒成立，
所以fx=ex−x−1在0,+∞单调递增，所以f12022=e12022−12022−1>f0=0，即e12022>20232022，所以d>b；
故选：C.
15．已知x=2,y=e1e1π，则x,y,z的大小关系为（ ）
A．x>y>zB．x>z>yC．D．y>z>x
【答案】D
【分析】将x=2,y=e1e1π变为lnx=12ln2,lny=1elne,lnz=1πlnπ，构造函数fx=lnxxx>0，利用导数判断函数的单调性，再结合lnx=12ln2=14ln4，根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：由x=2,y=e1e1π，
得lnx=12ln2,lny=1elne,lnz=1πlnπ，
令fx=lnxxx>0，则f'x=1−lnxx2x>0，
当0x.
故选：D.
16．已知a=ln2，b=e−1，c=4−ln4e−2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a0B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据导数不等式，构造函数，利用导数结合已知条件判断函数g(x)的单调性，然后利用g(x)的单调性依次判断四个选项即可．
【详解】解：令g(x)=f(x)+1e2x，则g'(x)=f'(x)−2f(x)−2e2x，
∵2f(x)0，即g'(x)>0恒成立，
∴g(x)为R上的单调递增函数，则g(0)e4−1，故选项B正确；
∵g(2023)>g(2022)，f(2023)+1e4046>f(2022)+1e4044，
∴f(2023)+1>e2[f(2022)+1]，即f(2023)−e2f(2022)>e2−1，
故选项C错误，选项D正确．
故选：BD．
18．设a=3e，b=eπ，c=π3，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>c>aC．b>a>cD．c>b>a
【答案】D
【分析】利用a=3e0，则g(x)递增；
故g(3)=3−3ln3=lne327fb，故a0,fx在(0,+∞)上单调递增，且f0=0，因为b>1⇒lnb>0⇒flnb>0
所以f(2a)=2f(lnb)>f(lnb)，所以2a>lnb，即b2(ea−a−1)，所以f(2a)=2f(lnb)>2f(a)，所以a