2027年中考数学一轮复习练习（二）含答案 24. 第四章 第二十节 特殊三角形及其性质

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A. 1，1，2B. 1，1，3C. 2，2，1D. 2，2，5
2．(2025扬州)在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是( )
A. ∠ADB=∠ADCB. ∠B=∠C
C. BD=CDD. AD平分∠BAC
3．若一个等边三角形的周长是6，则该等边三角形的面积是( )
A. 6B. 3C. 23D. 3
4．(2025安徽)如图，在△ABC中，∠A=120∘，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=3，则AC的长是( )
A. 43B. 6C. 23D. 3
5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D为AB上一点，AD=AC，连接CD，则∠BCD等于( )
A. 15∘B. 20∘C. 22.5∘D. 30∘
6．如图，在△ABC中，∠B=60∘，∠ACB=45∘，BC边上的高AE与AB边上的高CD交于点F，已知AE=6，则CF的长为( )
A. 43B. 4C. 23D. 2
7．如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，延长BC至点E，使得CE=CD，连接ED，若AB=2，则DE的长为( )
A. 32B. 3C. 32D. 2
8．(2025连云港)如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m.
9．(2025扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC=90∘.若AC=4，BC=8，则DF的长是 .
10．(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=2，则AD= .
11．(2025育才中学模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是斜边AB边上的中线，且DE//BC，若CD=5，AC=6，则DE= ．
12．如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．
(1) 求证：△BEC是等腰三角形；
(2) 若∠CEB=75∘，BC=4，求DE的长．
13．(2025福建)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G.
(1) 求∠DCE的大小；
(2) 求证：△CEG是等边三角形.
能力提升
14．(2025)如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=23，D是BC上一点，∠BAD=15∘，DA⊥AE，且AE=AD，BE交AC于点F，则CF的长度为______.
15．(2025河南)定义：有两个内角的差为90∘的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为__________________ .
参考答案
1. C 【解析】∵1＋1=2，∴本组数据不可以构成三角形，故A选项不符合题意；∵1＋1＜3，∴本组数据不可以构成三角形，故B选项不符合题意；∵1＋2＞2，且有两边相等，∴本组数据可以构成等腰三角形，故C选项符合题意；∵2＋2＜5，∴本组数据不可以构成三角形，故D选项不符合题意.
2. B 【解析】当∠ADB=∠ADC时，∵点D在BC上，∴∠ADB＋∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC；故选项A不符合题意；∵AB=AC，∴∠B=∠C，不能得到AD⊥BC；故选项B符合题意；∵AB=AC，∴当BD=CD或AD平分∠BAC时，AD⊥BC；故选项C，D均不符合题意.故选B.
3. B 【解析】∵该三角形为等边三角形，且周长为6，∴边长为2，∴该等边三角形的面积为34×22=3.
4. B 【解析】由题意易得∠C=30°，∠EDC=90°，∴在Rt△DEC中，CD=DEtan30°=3.又∵D为AC的中点，∴AC=2CD=6.
5. C 【解析】∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠A=∠B=45°.∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠ADC=12×(180°－45°)=67.5°，∴∠BCD=∠ACB－∠ACD=22.5°.
6. A 【解析】∵AE，CD分别为△ABC中BC，AB边上的高，∴AE⊥BC，CD⊥AB.∵∠B=60°，∴∠BCD=30°.在Rt△AEC中，∵∠ACB=45°，∴CE=AE=6，在Rt△EFC中，CF=CEcs30°=43.
7. B 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ACB=∠ABC=60°.∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∠ABD=∠CBD=30°，AD=CD=1，∴在Rt△ABD中，BD=AB2－AD2=3.∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=12∠ACB=30°，∴∠E=∠CBD，∴DE=DB=3.
8. 2.4 【解析】根据勾股定理，得h=32－1.82=2.4(m).
9. 6 【解析】∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，AC=4，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=2.∵∠BFC=90°，BC=8，∴EF=12BC=4，∴DF=DE＋EF=6.
10. 3－1 【解析】如解图，过点D作DH⊥BC于点H.∵BD=CD，∴H为BC的中点，∴BH=12BC=1.∵AB=AC，BD=CD，∴A，D，H三点均在BC的垂直平分线上，∴A，D，H三点共线，∴DH=BD2－BH2=1，AH=AB2－BH2=3，∴AD=AH－DH=3－1.
第10题解图
11. 4 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB边上的中线，∴AD=CD=12AB=5，∴AB=10，∴BC=AB2－AC2=8.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=12，∴DE=12BC=4.
12. (1)证明：∵BD⊥AC，
∴∠CDB=90°.
∵∠ABC=90°，
∴∠A＋∠C=90°，∠DBC＋∠C=90°，
∴∠A=∠DBC.
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE.
∵∠CBE=∠CBD＋∠DBE，∠CEB=∠A＋∠ABE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CB=CE，
∴△BEC是等腰三角形；
(2)解：∵∠CEB=∠CBE=75°，
∴∠C=180°－2×75°=30°.
∵∠CDB=90°，BC=4，
∴BD=12BC=2，
∴CD=BC2－BD2=23.
∵CE=BC=4，
∴DE=CE－CD=4－23.
13. (1)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°.
∵ D 是AB 的中点，
∴∠DCB=∠DCA=12∠ACB=30°.
∵CE⊥BC，∴∠BCE=90°，
∴∠DCE=∠BCE－∠DCB=90°－30°=60°；
(2)证明：由平移可知，CD∥EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°.
又∵∠ECA=∠BCE－∠ACB=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=120°.
又∵AB=CB，∴BE垂直平分AC，
∴∠GEC=12∠AEC=60°，
由(1)知，∠GCE=60°，∴∠EGC=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形.
14. 3－1 【解析】如解图，过点E作EG⊥AC于点G.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠DAC=∠BAC－∠BAD=45°－15°=30°.∵AC=BC=23，∴AE=AD=4.∵DA⊥AE，∴∠DAE=90°.∵∠DAC=30°，∴∠EAG=60°，∴AG=2，EG=23.∵BC=23，∴EG=BC.∵∠EGF=∠BCF=90°，∠GFE=∠CFB，∴△BCF≌△EGF，∴GF=CF=12CG.∵AC=23，AG=2，∴CG=23－2，∴CF=3－1.
第14题解图
15. 254或112 【解析】如解图①，过点A作AD⊥BC于点D，则BD=CD=4，由勾股定理可得AD=3.∵AB=AC，∴cs B=cs C=45.
第15题解图①
由解图①得∠ACP=∠ACB＜90°，不满足题意；如解图②，当点P与点B重合时，过点A作AC的垂线，交BC于点Q，此时∠PAC取得最大值，∠APC取得最小值.
第15题解图②
在Rt△ACQ中，QC=ACcsC=254，则AQ=154，BQ=74，∴∠PAQ＜∠B=∠C，∴∠PAC－∠APC＜90°，∠PAC－∠C＜90°，不满足题意，∴只有当∠APC＞90°时满足题意，分情况讨论：①当∠APC－∠C=90°时，方法1：如解图③，∵∠BAP=∠APC－∠B=∠APC－∠C=90°，∴BP=ABcsB=254；
第15题解图③
方法2：如解图④，过点P作AP的垂线，交AC于点M.∵∠1=∠APC－90°=∠C，∠B=∠C，∴∠1=∠B，∴AB∥PM，∴∠BAP=∠APM=90°，∴BP=ABcsB=254；
第15题解图④
②当∠APC－∠PAC=90°时，如解图⑤，过点P作BC的垂线，交AC于点N.∵∠2=∠APC－90°=∠PAC，∴PN=AN.∵cs C=45，∴设PC=4x，CN=5x，则AN=PN=3x，∴AC=8x=5，∴x=58，∴BP=BC－PC=8－4×58=112.综上所述，BP的长为254或112.
第15题解图⑤