初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式精品同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式精品同步测试题

知识点01 完全平方公式
完全平方公式：
①完全平方和公式：
两个数的和的平方，等于这两个数的 的和 这两个数乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
②完全平方差公式：
两个数的差的平方，等于这两个数的 的和 这两个数的乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
完全平方公式的式子特点：
：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 加上这两项的 。注意每一项都包含前面的符号。
巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。
完全平方公式的几何背景：
图1中面积的整体表示为：
用各部分面积之和表示为：
所以
用同样的方法表示图2的面积即可得到：
。
完全平方和公式与完全平方差公式的转化：
，
∵
∴
【即学即练1】
1．计算：
（1）（﹣2m+n）2： （2）（﹣2m﹣n）2： （3）（2a+b）2﹣（2a﹣b）2．
【即学即练2】
2．利用完全平方公式进行简便运算：
（1）1012＝（ + ）2＝ ；
（2）9.82＝（ ﹣ ）2＝ ．
【即学即练3】
3．已知a﹣b＝3，ab＝10，那么a2+b2的值为（ ）
A．27B．28C．29D．30
【即学即练4】
4．已知（a+b）2＝25，ab＝6，则a﹣b等于（ ）
A．1B．﹣1
C．1或﹣1D．以上都不正确
【即学即练5】
5．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（ ）
A．+10xyB．+10xy或﹣10xy
C．+20xyD．+20xy或﹣20xy
【即学即练6】
6．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来）
图1表示： ；
图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy和（x﹣y）2的值；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是 ．
知识点02 添括号法则
添括号法则：
在条加括号时，若括号前面时正号，括到括号里面的每一项都 ，若括号前面是负号，则括到括号里面的每一项都要 。
即：＝（ ）；＝（ ）
【即学即练1】
7．计算：
（1）（a﹣2b+3c）2； （2）（3x+y﹣2）（3x﹣y+2）．
题型01 利用完全平方公式计算
【典例1】下列等式一定成立的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2B．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝（x﹣y）2D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2
【变式1】运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2； （2）(y−12)2； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2．
【变式2】计算：
（1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2．
（3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2．
【变式3】计算：
（1）（2a+b﹣3c）（2a﹣b+3c）； （2）（a﹣2b+3c）2．
题型02 利用完全平方公式简便运算
【典例1】用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是 ．
【变式1】用简便方法计算：
（1）10.12﹣2×10.1×0.1+0.01； （2）2022+202×196+982．
【变式2】利用完全平方公式简便计算：
（1）20192； （2）1012+992．
题型03 利用完全平方公式变形求值
【典例1】已知x+y＝7，xy＝2，则x2+y2的值为 ．
【变式1】若（a﹣b）2＝9，a2﹣b2＝15，且a＜b，则ab的值为（ ）
A．4B．﹣4C．6D．﹣6
【变式2】已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（ ）
A．8B．20C．4D．16
【变式3】若（x+y）2＝25，xy＝6，则x2+y2的值为（ ）
A．13B．19C．25D．37
【变式4】已知a−1a=3，则a2+1a2的值为（ ）
A．9B．7C．11D．6
题型04 利用完全平方公式的特点求值
【典例1】如果x2+ax+4是一个完全平方式，那么a是（ ）
A．2B．4C．±2D．±4
【变式1】x2﹣（m+1）x+49是完全平方式，求m的值是（ ）
A．6或﹣8B．13C．﹣8D．13或﹣15
【变式2】若x2﹣3（a+1）x+16是一个完全平方式，则a的值为 ．
【变式3】多项式4x2+1加上一个单项式后，就会成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①﹣2，②±4x，③﹣3x2，④4x4中的（ ）
A．②B．①③C．②④D．①②③④
题型05 完全平方公式的几何意义
【典例1】如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（ ）
A．a（a+b）＝a2+abB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【变式1】如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示a+b，a﹣b与ab之间的关系，则这个关系是（ ）
A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4abB．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2ab
C．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣2abD．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝﹣4ab
【变式2】在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A．x+y＝8B．x﹣y＝3C．4xy+9＝64D．x2+y2＝25
题型06 乘法公式的综合应用
【典例1】计算：
（1）（2x+y﹣3z）2； （2）（x﹣y+4）（x+y+4）．
【变式1】计算题：
（1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2．
【变式2】计算题：
（1）（a﹣2b﹣3c）2； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2．
1．将(12x−3y)2展开得到（ ）
A．14x2−3xy+9y2B．14x2−9y2
C．14x2−32xy+9y2D．14x2+9y2
2．下列单项式中，与整式4x2+1相加后不能组成某个整式的平方的是（ ）
A．4x4B．4xC．﹣4xD．2x
3．若M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2，则M，N的大小关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．无法确定
4．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（ ）
A．5B．9C．13D．17
5．已知（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7，则ab的值等于（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
6．乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（ ）
A．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
B．（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2
C．（3a+b）2＝9a2+6ab+b2
D．（3a﹣b）2＝9a2+6ab+b2
7．如图，点B是线段AC上一点，以AB，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，若AC＝5，S1+S2＝13，则长方形S3面积为（ ）
A．25B．6C．9D．12
8．若（2x+m）2＝4x2+4mx+1，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．2
9．有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．10B．11C．12D．13
10．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝8，ab＝12，则阴影部分的面积为（ ）
A．14B．15C．16D．17
11．若（2x﹣3）2＝4x2+ax+9，则a＝ ．
12．若（x+m）2＝x2+8x+n，则m+n＝ ．
13．已知x+y＝5，xy＝4，则x2﹣xy+y2的值为 ．
14．小江将（2021x+2022）2展开后得到a1x2+b1x+c1，小华将（2022x﹣2021）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为 ．
15．有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 ．
16．运用完全平方公式计算：
（1）（2x﹣2）2+（3x+1）2； （2）（x+y）2﹣（x﹣y）2．
17．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．
例如，在计算（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）时就可以将x﹣y看成一个整体，式子转化为：（x﹣y）2﹣32＝x2﹣2xy+y2﹣9．请借助整体思想完成：
（1）（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝77，求x2+y2；
（2）已知（x+2024）2+（x+2026）2＝100，求x+2025．
18．阅读理解：
已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19，
参考上述过程解答：
（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．求x2+y2和（x+y）2的值；
（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求x﹣y的值．
19．原题呈现：若a2+b2+4a﹣2b+5＝0，求a、b的值．
方法介绍：
①看到a2+4a可想到如果添上常数4恰好就是a2+4a+4＝（a+2）2，这个过程叫做“配方”，同理b2﹣2b+1＝（b﹣1）2，恰好把常数5分配完；
②从而原式可以化为（a+2）2+（b﹣1）2＝0由平方的非负性可得a+2＝0且b﹣1＝0．
经验运用：
（1）若4a2+b2﹣20a+6b+34＝0，求a+b的值．
（2）若a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0，求a+b+c的值．
20．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，在整式运算中时常利用几何直观的面积法获取结论．
（1）如图1，大正方形是由四个全等的长方形（长为a，宽为b）和一个小正方形组成，请用两种不同的方法表示图中阴影部分（小正方形）的面积：① ；② ；请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系 ；
（2）利用图1阴影部分面积得到等量关系，解决下列问题．
【直接应用】若（x﹣y）2＝13，xy＝2，则（x+y）2的值是 ；
【拓展应用】为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图2所示面积为200m2的长方形空地ABCD中（其中AD＞AB）划出长方形AEFG和长方形JKCL，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池JNFM（JM＞JN），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求AB和AD的长．
教学目标
掌握完全平方公式以及完全平方公式的特点，完全平方公式的几何意义并能够熟练应用其解决问题。
掌握添加括号的法则，能够熟练的运用。
教学重难点
重点
完全平方公式。
2. 难点
（1）利用完全平方公式的变形求值；
（2）利用完全平方公式的。