人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.1 平方差公式优秀课时练习

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.1 平方差公式优秀课时练习

知识点01 平方差公式
平方差公式：
＝ 。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差。
平方差公式的特征：
两个二项式相乘。若他们其中一项 ，另一项 ，则他们的结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方。
平方差公式的几何意义：
如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。
图①的面积为：；图②的面积为：；
图①与图②的面积相等。所以
【即学即练1】
1．利用乘法公式计算下列各题：
（1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（23x+5y）（23x−5y）；
（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x−12）（x2+14）（x+12）．
【即学即练2】
2．已知x+y＝5，x2﹣y2＝15，则x﹣y的值为（ ）
A．3B．20C．﹣3D．10
【即学即练3】
3．用简便方法计算202×198，变形正确的是（ ）
A．2002+2×200×2+22B．2002﹣2×200×2+22
C．2022﹣22D．2002﹣22
【即学即练4】
4．利用乘法公式简便计算：2002﹣198×202．
【即学即练5】
5．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
题型01 利用平方差公式计算
【典例1】不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）B．（2m+n）（﹣2m﹣n）
C．（﹣2a+b）（2a+b）D．（y﹣x）（﹣y﹣x）
【变式1】下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3y﹣x）（﹣3y﹣x）B．（x+3y）（﹣x﹣3y）
C．（x﹣5y）（﹣x+3y）D．（﹣x﹣3y）（﹣x﹣3y）
【变式2】计算：
（1）（2m+3n）（2m﹣3n）； （2）（﹣3a−12b）（﹣3a+12b）；
（3）（﹣4x+y）（y+4x）； （4）（x+y）（x﹣y）+（y﹣z）（y+z）﹣（x+z）（x﹣z）．
【变式3】计算．
（1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）； （2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）；
（3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）； （4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）．
题型02 利用平方差公式求值
【典例1】若（x+m）（x﹣m）＝x2﹣4，则m等于（ ）
A．2B．±2
C．±4D．以上都不对
【变式1】已知x+y＝5，x﹣y＝2，则x2﹣y2的值为（ ）
A．10B．﹣10C．7D．﹣7
【变式2】已知a2﹣b2＝27，a﹣b＝3，则a+b的值为（ ）
A．9B．10C．12D．15
【变式3】已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（ ）
A．10B．15C．20D．25
【变式4】若3x﹣2y＝3，则9x2﹣4y2﹣12y的值为（ ）
A．9B．6C．3D．﹣3
题型03 利用平方差公式简便运算
【典例1】简便运算：2025×2023﹣20242＝ ．
【变式1】用简便方法计算5002﹣499×501的结果是 ．
【变式2】已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不能确定
【变式3】已知a＝2015×2017，b＝2014×2018，c＝2016×2016，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＝c＞bD．c＞a＞b
题型04 平方差公式的几何意义
【典例1】如图①，已知正方形ABCD的边长为a，正方形EFHD的边长为b，长方形AEFG和GBCH为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【变式1】以下四种方法中能够验证公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的有 （填序号）．
【变式2】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；
②计算：20252﹣2023×2027．
【变式3】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）应用你（1）中得出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）．
1．以下能用平方差公式的是（ ）
A．（2a+b）（a﹣2b）B．（a﹣b）（b﹣a）
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）D．（a+b）（﹣a﹣b）
2．下列各式中，计算结果不正确的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2B．（y﹣x）（﹣y﹣x）＝x2﹣y2
C．（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2D．（﹣x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
3．（5a2+4b2）（ ）＝25a4﹣16b4，括号内应填（ ）
A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b2
4．若（a+1）（a﹣1）＝35，则a的值为（ ）
A．±6B．±3C．6D．3
5．如图，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图表示下列式子正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣12＝（x+1）（x﹣1）D．x2﹣12＝（x﹣1）2
6．已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不能确定
7．已知a+b＝3，a﹣b＝2，则a2﹣b2等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．若a4＝16，则（a﹣1）（a+1）（a2+1）的值为（ ）
A．17B．15C．0D．﹣15
9．代数式（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1）的值是（ ）
A．2n﹣1B．22n﹣1C．42n﹣1D．222n−1
10．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．18C．24D．30
11．运用平方差公式计算：21×19＝ ，20015×19945= ．
12．已知x+y＝5，则x2﹣y2+10y＝ ．
13．已知实数a，b满足a2＝2b+7，b2＝2a+7，且a≠b，则a+b的值为 ．
14．计算12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002的值为 ．
15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62，因此4，12，20，28都可以称为“幸运数”．
（1）请判断：44 “幸运数”（填“是”或“不是”）；
（2）设这两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），用k表示“幸运数是 ．
16．计算：
（1）（2m+5）（3m﹣1）； （2）（2x﹣5y）（3x﹣y）；
（3）（m+2）（m2﹣2m+4）； （4）3（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）（3x+4）．
17．【发现】：两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
【验证】：求192﹣172的结果是8的几倍？
【证明】：证明两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍．
18．【探究】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是C ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．b2+ab＝b（a+b）
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
（2）【应用】请你应用从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（22+42+62+82+102）﹣（12+32+52+72+92）．
19．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x，y的大小．
解：设6788＝a，
则x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a，
∵x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，
∴x＜y．
请利用上面的方法解答下列问题：
（1）若x＝3987×3991，y＝3988×3986，试比较x，y的大小；
（2）若x＝2024×2028﹣2025×2027，y＝2025×2029﹣2026×2028．试比较x，y的大小．
20．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)2−1=(22−1)(22+1)(24+1)=（24﹣1）（24+1）＝28﹣1；
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ ．
（2）（3+1）（32+1）（34+1）＝ ．
（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）．
教学目标
掌握平方差公式，以及平方差公式的特征，几何意义，并能够在题目中熟练应用。
教学重难点
重点
平方差公式。
2. 难点
（1）运用平方差公式进行变形求值；
（2）利用平方差公式进行简便运算。