初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式精品课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式精品课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了a-b2，a+b2，a2-2ab+b2，a2+2ab+b2，a-b，我们把，都叫做完全平方公式，积为二次三项式，结果为二次三项式，中间项符号错误等内容，欢迎下载使用。
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = p 2+2p+ 1
( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = m2 －4m+4
根据上面的规律，你能直接写出下列式子的运算结果吗？
(a＋b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a－b)2 = .
a2－2ab + b2
法一：用多项式乘法证明：
=(a-b)(a-b)
=a2-ab-ab+b2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
法二：借助几何图形证明：
如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 .
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 .
所以(a-b)2=a2-2ab+b2.
=a2-ab-ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
“首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央.”
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1. 说一说积的次数和项数；
2. 两个完全平方式的积有相同的项吗？与 a，b 有什么关系？
3. 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a，b 有什么关系？它的符号与什么有关？
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式.
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；
你能利用完全平方公式快速地计算出(2x+y)2吗？
( 2x + y )2
( + )2
= ( )2 + · ( )· + 2
= 4x2+4xy+y2，
= a 2 + 2 · a · b + b 2 .
(a+b)2=a2+2ab+b2.
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2
(2) (x－y)2 = x2－y2
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2
x2 + 2xy + y2
x2－2xy + y2
x2－2xy + y2
4x2 + 4xy + y2
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
= (3m)2+2 · 3m · n + n2
= 9m2+6mn+n2.
运用完全平方公式计算：
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
= (-x)2+2(-x)· 1 + 12
= (x)2-2·x· 1 + 12
(5) (-2x-3)2
解： (-2x-3)2
= (-2x)2+2·(-2x)·(-3)+9
= 4x2+12x+9.
(6) (2x+3)2
解： (-2x-3)2 =(2x)2+2·(2x)×3+9
= (200 + 1)2
= 40000 + 400 + 1
= (10 – 0.2)2
= 100 - 4 + 0.04
运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
利用乘法公式计算：(1) 20262－2025×2027； (2) 20262－2026×4050＋20252.
＝(2026－2025)2＝1.
解：(1) 原式＝20262－(2026－1)(2026＋1)
＝20262－20262＋1＝1.
(2) 原式＝20262－2×2026×2025＋20252
已知 x－y＝6，xy＝－8. 求： (1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值.
解：(1) ∵ x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy
图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按 图（2）那样拼成一个正方形.
（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是_______； （2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分的面积： 方法一：__________；方法二：_______________.
（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的 等量关系吗？（4）根据第（3）题中的等量关系解决如下问题： 若 ， ，则 =_______.
( a＋b)2－4ab
( a－b)2 =( a＋b)2－4ab
从例4和例5中，你能得到什么启发？
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab= (a - b)2 + 2ab
(a + b)2 = (a - b)2 +4ab
(a - b)2 = (a + b)2 -4ab
(a + b)2+(a - b)2 =2( a2+b2)
a + (b + c) = a + b + c； a – (b + c) = a – b – c.
a + b + c = a + (b + c)；a – b – c = a – (b + c).
把上面两个等式的左右两边反过来，就得到添括号法则：
a+b+c=a+(b+c)
abc=a(b+c)
添上“+( )”，括号里的各项都不变符号.
添上“( )”，括号里的各项都改变符号.
计算：(1) (a－b＋c)2； (2) (1－2m＋n)(1＋2m－n)．
＝1－4m2＋4mn－n2.
解：(1) 原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c
＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.
(2) 原式＝[1－(2m－n)][1＋(2m－n)]
＝12－(2m－n)2
已知a=2025x+2025,b=2025x+2024, c=2025x+2026,求a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值．
已知W=－x2+2x－y2+8y+1,问W有最大值还是最小值？是多少？
解：W=－x2+2x－y2+8y+1=－x2+2x－1－y2+8y－16+1+1+16=－(x－1)2－(y－4)2+18∵(x－1)2≥0，(y－4)≥0,∴－(x－1)2≤0，－(y－4)≤0,∴－(x－1)2－(y－4)2+18≤18，∴W有最大值，最大值为18.
3. 如图，可验证的乘法公式是( )
7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算：
利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：
一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真分数的和或差.
. .
. .
A. 52B. 50C. 45D. 60