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第八章 第八节 双曲线-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
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这是一份第八章 第八节 双曲线-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案，文件包含第八章第八节双曲线原卷版docx、第八章第八节双曲线解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。
第八节 双曲线
知识回顾
1．双曲线的概念
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝ ，渐近线方程为y＝±x.
4．双曲线的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为y＝±.
课前检测
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(－5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|－|PF2|＝8,则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
D
由于两点间的距离|F1F2|＝10,动点P满足|PF1|－|PF2|＝8<10,
所以满足条件|PF1|－|PF2|＝8的点P的轨迹是双曲线中离F2较近的一支．故选D．
双曲线的第一定义．
2.方程＋＝1表示双曲线,则m的取值范围是( )
A．－3
根据题意,方程＋＝1表示双曲线,
则有(m－2)(m＋3)<0,解可得－3
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B．5 C. D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
4．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案 A
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )
A．若C为椭圆，则1
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1
解析 若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2
答案 2
解析 设P在双曲线的右支上，PF1＝2＋x，
PF2＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以PF2＋PF1＝2.
7．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．
解析：由题意得2a＝|－|＝4，所以a＝2，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
课中讲解
考点一.双曲线的定义及其应用
例1.(1)(2020·济南模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为__________．
(2)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|＝2|PF2|,则cos∠F1PF2＝________.
(1)x2－＝1(x≤－1) (2)
(1)如图10.31所示,设动圆M与圆C1及圆C2外切于点A和点B．
图10.31
根据两圆外切的充要条件,得|MC1|－|AC1|
＝|MA|,|MC2|－|BC2|＝
|MB|.因为|MA|＝|MB|,
所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－
|AC1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义知．动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),且a＝1,c＝3,则b2＝8,设点M的坐标为(x,y),则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2,
又|PF1|＝2|PF2|,∴|PF1|＝4,|PF2|＝2,
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
变式1.（1）过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若PQ＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．
答案 12
解析 由题意，得PF2－PF1＝2，QF2－QF1＝2.
∵PF1＋QF1＝PQ＝4，
∴PF2＋QF2－4＝4，
∴PF2＋QF2＝8.
∴△PF2Q的周长是PF2＋QF2＋PQ＝8＋4＝12.
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.
例2.已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：选A 不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝|m－n|＝4.又因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m－n|2＝16，所以mn＝2.所以△F1PF2的面积为S＝mn＝1，故选A.
变式2．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2)
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞2)．
考点二. 双曲线的标准方程
例1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
变式1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选B 法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为＋＝1(1＜λ＜4)，将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
例2．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.
答案：－＝1
变式2．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ＞0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
例3．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
变式3．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
考点三. 双曲线的几何性质
例1.(1)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
(2)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为( )
A．5 B.
C. D.
[解析] (1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
(2)根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5,0)，可知半焦距c＝5，
设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，
如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.
[答案] (1)B (2)A
变式1.(2019·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
[解析] 由题意知，椭圆中a2＝25，b2＝16，∴椭圆的离心率e＝ ＝，∴双曲线的离心率为 ＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.
[答案] A
例2.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
思维启迪： (1)分别设出椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，双曲线方程为－＝1 (m>0，n>0)．
(2)由已知条件分别求出a、b、m、n的值．
(3)利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求出cos∠F1PF2.
解 (1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实、虚半轴长分别为m、n，
则，
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
变式2.设双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 ∵a>b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，
∴e2＝，∴e＝.
例3.(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案 D
解析 由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝＝
＝＝.
变式3.(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若PQ＝OF，则C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 A
解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①
将x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以PQ＝2.
由PQ＝OF，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，
解得e＝，故选A.
例4.(1)已知椭圆C1：＋＝1 (a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则a2＝________，b2＝________.
答案
解析 由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且AB＝4OF(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由AB＝4OF可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
变式4.（1）(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A. B.2
C. D.
解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b.在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
（2）．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)， ＝(－x0，－y0)．∵·＜0，∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，即x－3＋y＜0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.
考点四.直线与双曲线的位置关系
例1.过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求AB；
(2)求△AOB的面积．
思维启迪：写出直线方程，然后与双曲线方程联立组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求AB；求O到直线的距离，代入面积公式得△AOB的面积．
(1)解 由双曲线的方程得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝(x－3)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴AB＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
(2)解 直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.
∴原点O到直线AB的距离为
d＝＝.
∴S△AOB＝AB·d＝××＝.
探究提高 双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则AB＝|x1－x2|.
变式1. 已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解 (1)设双曲线C2的方程为
－＝1 (a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
，
∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，解得
变式2.已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．
规范解答
解 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋1－k.[4分]
由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．① [7分]
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.[10分]
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[13分]
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．[14分]
课后习题
一． 单选题
1．(2019·襄阳联考)直线l：4x－5y＝20经过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c＝5，b＝4，∴a＝3，双曲线C的离心率e＝＝.
2．(2019·成都模拟)如图，已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为2c＝|AB|＝6，所以c＝3.因为＝|BC|＝，所以5a＝2b2.又c2＝a2＋b2，所以9＝a2＋，解得a＝2或a＝－(舍去)，故该双曲线的离心率e＝＝，故选B.
3．(2018·武汉调研)已知点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，PF⊥x轴(其中F为双曲线的右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知F(c,0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则P，双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，由题意，得＝，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝ b，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A. B.3
C．2 D．4
解析：选B 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B.
5．(2019·邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为( )
A．2＋ B.
C．2＋ D.
解析：选D 由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝± ，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e＞1，所以e2＝2＋，所以e＝ ，故选D.
6．(2020·衡水质检)对于实数m，“1
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若方程＋＝1表示双曲线，
则(m－1)(m－2)<0，得1
A. B．4 C．2 D.
答案 D
解析 由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，
∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C.x±y＝0 D．2x±y＝0
答案 C
解析 ∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又∵离心率e＝＝2，
∴c＝2a，∴b＝＝a.
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.故选C.
9．(2020·西南大学附中月考)已知双曲线－＝1(0
答案 D
解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y＝±x，
由两条渐近线夹角为，0
∴＝，∴a＝，c＝＝，
∴e＝＝＝2.
10．(2019·全国Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若OP＝OF，则△OPF的面积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由F是双曲线－＝1的一个焦点，
知OF＝3，所以OP＝OF＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则解得
所以P，
所以S△OPF＝OF·y0＝×3×＝.
11．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16 C．84 D．4
答案 B
解析 由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知F2M＝＝b，所以OM＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
12．(2020·长沙模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为( )
A. B. C．2 D．2
答案 C
解析 因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.
13．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵OF＝c，OE＝a，OE⊥EF，∴EF＝＝b，
∵＝(＋)，
∴E为PF的中点，OP＝OF＝c，PF＝2b，
设F′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO为△PFF′的中位线，
则PF′＝2OE＝2a，可设P的坐标为(m，n)，
则有n2＝4cm，
由抛物线的定义可得PF′＝m＋c＝2a，
m＝2a－c，n2＝4c(2a－c)，
又OP＝c，即有c2＝(2a－c)2＋4c(2a－c)，
化简可得，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，
由于e>1，解得e＝.
14．(2018·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，所以a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
15．(2019·南充模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B.(， )
C．(，2) D．(1，)∪(，＋∞)
解析：选D 设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，令x＝－c，可得y＝±，可设A，B.又设D(0，b)，可得＝，＝，＝.
由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．当∠DAB为钝角时，可得·＜0，即为0－·＜0，化为a＞b，即有a2＞b2＝c2－a2.可得c2＜2a2，即e＝＜.又e＞1，可得1＜e＜；当∠ADB为钝角时，可得·＜0，即为c2－＜0，化为c4－4a2c2＋2a4＞0，由e＝，可得e4－4e2＋2＞0.又e＞1，可得e＞ .综上可得，离心率的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．
16．(2019·石家庄模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A 由题意可知F1(－c,0)，设A(0，y0)，因为A是F1B的中点，所以点B的横坐标为c，又点B在双曲线的右支上，所以B，因为直线F1B的倾斜角为30°，所以＝，化简整理得＝，又b2＝c2－a2，所以3c2－3a2－2ac＝0，两边同时除以a2得3e2－2e－3＝0，解得e＝或e＝－(舍去)，故选A.
17．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使＝(c是双曲线的半焦距)，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )
A．(1,1＋) B.(1,1＋)
C．(1,1＋] D．(1,1＋]
解析：选A 由题意，知点P不是双曲线的顶点，否则＝无意义．在△PF1F2中，由正弦定理得＝，又＝，∴＝，即|PF1|＝·|PF2|.由题意知点P在双曲线的右支上，故|PF1|－|PF2|＝2a，∴·|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝.由双曲线的几何性质，知|PF2|＞c－a，∴＞c－a，即c2－2ac－a2＜0，∴e2－2e－1＜0，解得－＋1＜e＜＋1.又e＞1，∴双曲线离心率的取值范围是(1，＋1)，故选A.
18．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2) B.(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
解析：选A 如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立，得解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2＜c2，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又双曲线的离心率e＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.
二． 多选题
19．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程可能为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案 AD
解析 在椭圆＋＝1中，c＝＝.
因为双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，
且一条渐近线方程为x－2y＝0，
所以可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
化为标准方程为－＝1.
当λ>0时，c＝＝，解得λ＝1，
则双曲线C的方程为－y2＝1；
当λ<0时，c＝＝，解得λ＝－1，
则双曲线C的方程为y2－＝1.
综上，双曲线C的方程为－y2＝1或y2－＝1，
故选AD.
20．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
答案 ACD
解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知F1F2＝2，
所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
所以由解得|x0|＝1，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．
故选ACD.
三． 填空题
21．已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标准方程为______________________．
答案 －＝1或－＝1
解析 ∵双曲线C的离心率为2，∴2＝，∴＝，
∴可设双曲线C的标准方程为－＝1或－＝1，把P(2，)代入得，a2＝3或a2＝，∴所求双曲线C的标准方程为－＝1或－＝1.
22．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________________.
答案 －
解析 由题意知a2＝1，b2＝－，则a＝1，b＝.
∴ ＝2，解得m＝－.
23．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为_________．
答案
解析 如图，∠B1F1B2＝60°，
则c＝b，即c2＝3b2，
由c2＝3(c2－a2)，
得＝，则e＝.
24．(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且PF1－PF2＝3，则双曲线C的焦距为________．
答案 3
解析 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝PF1－PF2＝3，
可得a＝，b＝3，
即有c＝＝＝，
即焦距为2c＝3.
25.如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
答案 ＋1
解析 设F1F2＝2c，连接AF1，
∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴AF1＝c，AF2＝c，
2a＝c－c，e＝＝＝＋1.
26.(2020·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案
解析 设c为半焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
因为·＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以即
故解得
解析：∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，
∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9.∴双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
28．(2019·江南十校联考)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x(a>0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
答案 2
解析 由题意得双曲线C1的方程为－y2＝t(a>0，t>0)，
双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．
29．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________．
答案 (－2,2)
解析 如图，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，
∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点E(－3,0)，
右焦点F(3,0)，
∵AF＝＝15，
∴当△APF的周长最小时，PA＋PF最小．
由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2，
∴PF＝PE＋2，
又PE＋PA≥AE＝AF＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.
直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，
解得x＝－7(舍)或x＝－2，
由x＝－2，得y＝2(负值已舍)，
∴点P的坐标为(－2,2)．
四． 解答题
30．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得＜k＜1.所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.
(3)由(2)得xA＋xB＝，所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为y＝－x＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.因为＜k＜1，所以－2＜1－3k2＜0.所以m＜－2.所以m的取值范围为(－∞，－2)．
31.设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解 (1)由题意知a＝2，一条渐近线方程为y＝x，
即bx－ay＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则 x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴ ∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
32.直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解 (1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程
2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是－2
则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．
则由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)，
可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
第八节 双曲线
知识回顾
1．双曲线的概念
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝ ，渐近线方程为y＝±x.
4．双曲线的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为y＝±.
课前检测
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(－5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|－|PF2|＝8,则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
D
由于两点间的距离|F1F2|＝10,动点P满足|PF1|－|PF2|＝8<10,
所以满足条件|PF1|－|PF2|＝8的点P的轨迹是双曲线中离F2较近的一支．故选D．
双曲线的第一定义．
2.方程＋＝1表示双曲线,则m的取值范围是( )
A．－3
根据题意,方程＋＝1表示双曲线,
则有(m－2)(m＋3)<0,解可得－3
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B．5 C. D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
4．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案 A
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )
A．若C为椭圆，则1
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1
解析 若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2
答案 2
解析 设P在双曲线的右支上，PF1＝2＋x，
PF2＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以PF2＋PF1＝2.
7．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．
解析：由题意得2a＝|－|＝4，所以a＝2，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
课中讲解
考点一.双曲线的定义及其应用
例1.(1)(2020·济南模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为__________．
(2)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|＝2|PF2|,则cos∠F1PF2＝________.
(1)x2－＝1(x≤－1) (2)
(1)如图10.31所示,设动圆M与圆C1及圆C2外切于点A和点B．
图10.31
根据两圆外切的充要条件,得|MC1|－|AC1|
＝|MA|,|MC2|－|BC2|＝
|MB|.因为|MA|＝|MB|,
所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－
|AC1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义知．动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),且a＝1,c＝3,则b2＝8,设点M的坐标为(x,y),则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2,
又|PF1|＝2|PF2|,∴|PF1|＝4,|PF2|＝2,
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
变式1.（1）过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若PQ＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．
答案 12
解析 由题意，得PF2－PF1＝2，QF2－QF1＝2.
∵PF1＋QF1＝PQ＝4，
∴PF2＋QF2－4＝4，
∴PF2＋QF2＝8.
∴△PF2Q的周长是PF2＋QF2＋PQ＝8＋4＝12.
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.
例2.已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：选A 不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝|m－n|＝4.又因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m－n|2＝16，所以mn＝2.所以△F1PF2的面积为S＝mn＝1，故选A.
变式2．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2)
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞2)．
考点二. 双曲线的标准方程
例1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
变式1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选B 法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为＋＝1(1＜λ＜4)，将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
例2．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.
答案：－＝1
变式2．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ＞0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
例3．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
变式3．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
考点三. 双曲线的几何性质
例1.(1)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
(2)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为( )
A．5 B.
C. D.
[解析] (1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
(2)根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5,0)，可知半焦距c＝5，
设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，
如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.
[答案] (1)B (2)A
变式1.(2019·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
[解析] 由题意知，椭圆中a2＝25，b2＝16，∴椭圆的离心率e＝ ＝，∴双曲线的离心率为 ＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.
[答案] A
例2.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
思维启迪： (1)分别设出椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，双曲线方程为－＝1 (m>0，n>0)．
(2)由已知条件分别求出a、b、m、n的值．
(3)利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求出cos∠F1PF2.
解 (1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实、虚半轴长分别为m、n，
则，
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
变式2.设双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 ∵a>b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，
∴e2＝，∴e＝.
例3.(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案 D
解析 由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝＝
＝＝.
变式3.(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若PQ＝OF，则C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 A
解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①
将x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以PQ＝2.
由PQ＝OF，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，
解得e＝，故选A.
例4.(1)已知椭圆C1：＋＝1 (a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则a2＝________，b2＝________.
答案
解析 由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且AB＝4OF(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由AB＝4OF可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
变式4.（1）(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A. B.2
C. D.
解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b.在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
（2）．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)， ＝(－x0，－y0)．∵·＜0，∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，即x－3＋y＜0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.
考点四.直线与双曲线的位置关系
例1.过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求AB；
(2)求△AOB的面积．
思维启迪：写出直线方程，然后与双曲线方程联立组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求AB；求O到直线的距离，代入面积公式得△AOB的面积．
(1)解 由双曲线的方程得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝(x－3)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴AB＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
(2)解 直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.
∴原点O到直线AB的距离为
d＝＝.
∴S△AOB＝AB·d＝××＝.
探究提高 双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则AB＝|x1－x2|.
变式1. 已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解 (1)设双曲线C2的方程为
－＝1 (a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
，
∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，解得
变式2.已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．
规范解答
解 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋1－k.[4分]
由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．① [7分]
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.[10分]
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[13分]
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．[14分]
课后习题
一． 单选题
1．(2019·襄阳联考)直线l：4x－5y＝20经过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c＝5，b＝4，∴a＝3，双曲线C的离心率e＝＝.
2．(2019·成都模拟)如图，已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为2c＝|AB|＝6，所以c＝3.因为＝|BC|＝，所以5a＝2b2.又c2＝a2＋b2，所以9＝a2＋，解得a＝2或a＝－(舍去)，故该双曲线的离心率e＝＝，故选B.
3．(2018·武汉调研)已知点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，PF⊥x轴(其中F为双曲线的右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知F(c,0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则P，双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，由题意，得＝，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝ b，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A. B.3
C．2 D．4
解析：选B 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B.
5．(2019·邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为( )
A．2＋ B.
C．2＋ D.
解析：选D 由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝± ，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e＞1，所以e2＝2＋，所以e＝ ，故选D.
6．(2020·衡水质检)对于实数m，“1
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若方程＋＝1表示双曲线，
则(m－1)(m－2)<0，得1
A. B．4 C．2 D.
答案 D
解析 由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，
∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C.x±y＝0 D．2x±y＝0
答案 C
解析 ∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又∵离心率e＝＝2，
∴c＝2a，∴b＝＝a.
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.故选C.
9．(2020·西南大学附中月考)已知双曲线－＝1(0
答案 D
解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y＝±x，
由两条渐近线夹角为，0
∴＝，∴a＝，c＝＝，
∴e＝＝＝2.
10．(2019·全国Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若OP＝OF，则△OPF的面积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由F是双曲线－＝1的一个焦点，
知OF＝3，所以OP＝OF＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则解得
所以P，
所以S△OPF＝OF·y0＝×3×＝.
11．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16 C．84 D．4
答案 B
解析 由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知F2M＝＝b，所以OM＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
12．(2020·长沙模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为( )
A. B. C．2 D．2
答案 C
解析 因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.
13．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵OF＝c，OE＝a，OE⊥EF，∴EF＝＝b，
∵＝(＋)，
∴E为PF的中点，OP＝OF＝c，PF＝2b，
设F′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO为△PFF′的中位线，
则PF′＝2OE＝2a，可设P的坐标为(m，n)，
则有n2＝4cm，
由抛物线的定义可得PF′＝m＋c＝2a，
m＝2a－c，n2＝4c(2a－c)，
又OP＝c，即有c2＝(2a－c)2＋4c(2a－c)，
化简可得，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，
由于e>1，解得e＝.
14．(2018·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，所以a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
15．(2019·南充模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B.(， )
C．(，2) D．(1，)∪(，＋∞)
解析：选D 设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，令x＝－c，可得y＝±，可设A，B.又设D(0，b)，可得＝，＝，＝.
由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．当∠DAB为钝角时，可得·＜0，即为0－·＜0，化为a＞b，即有a2＞b2＝c2－a2.可得c2＜2a2，即e＝＜.又e＞1，可得1＜e＜；当∠ADB为钝角时，可得·＜0，即为c2－＜0，化为c4－4a2c2＋2a4＞0，由e＝，可得e4－4e2＋2＞0.又e＞1，可得e＞ .综上可得，离心率的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．
16．(2019·石家庄模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A 由题意可知F1(－c,0)，设A(0，y0)，因为A是F1B的中点，所以点B的横坐标为c，又点B在双曲线的右支上，所以B，因为直线F1B的倾斜角为30°，所以＝，化简整理得＝，又b2＝c2－a2，所以3c2－3a2－2ac＝0，两边同时除以a2得3e2－2e－3＝0，解得e＝或e＝－(舍去)，故选A.
17．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使＝(c是双曲线的半焦距)，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )
A．(1,1＋) B.(1,1＋)
C．(1,1＋] D．(1,1＋]
解析：选A 由题意，知点P不是双曲线的顶点，否则＝无意义．在△PF1F2中，由正弦定理得＝，又＝，∴＝，即|PF1|＝·|PF2|.由题意知点P在双曲线的右支上，故|PF1|－|PF2|＝2a，∴·|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝.由双曲线的几何性质，知|PF2|＞c－a，∴＞c－a，即c2－2ac－a2＜0，∴e2－2e－1＜0，解得－＋1＜e＜＋1.又e＞1，∴双曲线离心率的取值范围是(1，＋1)，故选A.
18．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2) B.(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
解析：选A 如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立，得解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2＜c2，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又双曲线的离心率e＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.
二． 多选题
19．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程可能为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案 AD
解析 在椭圆＋＝1中，c＝＝.
因为双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，
且一条渐近线方程为x－2y＝0，
所以可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
化为标准方程为－＝1.
当λ>0时，c＝＝，解得λ＝1，
则双曲线C的方程为－y2＝1；
当λ<0时，c＝＝，解得λ＝－1，
则双曲线C的方程为y2－＝1.
综上，双曲线C的方程为－y2＝1或y2－＝1，
故选AD.
20．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
答案 ACD
解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知F1F2＝2，
所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
所以由解得|x0|＝1，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．
故选ACD.
三． 填空题
21．已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标准方程为______________________．
答案 －＝1或－＝1
解析 ∵双曲线C的离心率为2，∴2＝，∴＝，
∴可设双曲线C的标准方程为－＝1或－＝1，把P(2，)代入得，a2＝3或a2＝，∴所求双曲线C的标准方程为－＝1或－＝1.
22．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________________.
答案 －
解析 由题意知a2＝1，b2＝－，则a＝1，b＝.
∴ ＝2，解得m＝－.
23．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为_________．
答案
解析 如图，∠B1F1B2＝60°，
则c＝b，即c2＝3b2，
由c2＝3(c2－a2)，
得＝，则e＝.
24．(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且PF1－PF2＝3，则双曲线C的焦距为________．
答案 3
解析 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝PF1－PF2＝3，
可得a＝，b＝3，
即有c＝＝＝，
即焦距为2c＝3.
25.如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
答案 ＋1
解析 设F1F2＝2c，连接AF1，
∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴AF1＝c，AF2＝c，
2a＝c－c，e＝＝＝＋1.
26.(2020·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案
解析 设c为半焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
因为·＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以即
故解得
解析：∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，
∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9.∴双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
28．(2019·江南十校联考)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x(a>0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
答案 2
解析 由题意得双曲线C1的方程为－y2＝t(a>0，t>0)，
双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．
29．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________．
答案 (－2,2)
解析 如图，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，
∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点E(－3,0)，
右焦点F(3,0)，
∵AF＝＝15，
∴当△APF的周长最小时，PA＋PF最小．
由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2，
∴PF＝PE＋2，
又PE＋PA≥AE＝AF＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.
直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，
解得x＝－7(舍)或x＝－2，
由x＝－2，得y＝2(负值已舍)，
∴点P的坐标为(－2,2)．
四． 解答题
30．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得＜k＜1.所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.
(3)由(2)得xA＋xB＝，所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为y＝－x＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.因为＜k＜1，所以－2＜1－3k2＜0.所以m＜－2.所以m的取值范围为(－∞，－2)．
31.设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解 (1)由题意知a＝2，一条渐近线方程为y＝x，
即bx－ay＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则 x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴ ∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
32.直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解 (1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程
2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是－2
则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．
则由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)，
可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
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