新高考数学一轮复习考点讲义：第09章第七讲双曲线(一)（含解析）

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一 双曲线的概念
1．一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)当ac时，点P不存在．
二 双曲线的标准方程和几何性质
常/用/结/论
1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a)，也叫通径．
2．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同的渐近
渐近线求法：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0.
线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
1．判断下列结论是否正确．
(1)平面内到点F1(0,5)，F2(0，－5)的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线．()
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示双曲线．(√)
(3)双曲线方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.(√)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r( ,2).(√)
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \r( ,5) B．5
C．eq \r( ,2) D．2
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r( ,5).
答案：A
3．与双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1有相同的渐近线，且与椭圆eq \f(y2,8)＋eq \f(x2,2)＝1有共同的焦点的双曲线方程是( )
A．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1
C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1
解析：可设双曲线方程为y2－eq \f(x2,2)＝λ，故2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1.
答案：B
4．(2024·广东汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为eq \r( ,3)的双曲线方程：________.
解析：取c＝eq \r( ,3)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \r( ,3)，可得a＝1，所以b＝eq \r( ,c2－a2)＝eq \r( ,2)，所以符合条件的双曲线方程为y2－eq \f(x2,2)＝1(答案不唯一，符合要求即可)．
答案：y2－eq \f(x2,2)＝1(答案不唯一，符合要求即可)
题型 双曲线的定义及应用
典例1(1)(2024·河南名校模拟)已知△ABC的顶点A(－6,0)，B(6,0)．若△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1
B．eq \f(x2,27)－eq \f(y2,9)＝1
C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1(x>3)
D．eq \f(x2,27)－eq \f(y2,9)＝1(x>3eq \r( ,3))
(2)(2024·广州执信中学开学测试)已知双曲线Γ：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线Γ的左、右两支于A，B两点，且∠F2AB＝∠F2BA，则|BF2|＝( )
A．eq \r( ,5)＋4 B．2eq \r( ,5)＋4
C．2eq \r( ,5) D．eq \r( ,5)
(3)已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1，F1，F2是其左、右焦点．圆E：x2＋y2－4y＋3＝0，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则|PQ|＋|PF1|的最小值是( )
利用双曲线定义转化成(|PQ|＋|PF2|)min＋6＝(|F2E|－r)＋6＝5＋2eq \r(5).
A．5＋2eq \r( ,5) B．5＋2eq \r( ,2)
C．7 D．8
解析：(1)如图，|AD|＝|AE|＝9，|BF|＝|BE|＝3，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝9－3＝6.
切线长定理． 注意是双曲线的右支(除去右顶点)．
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(除去右顶点)，
则c＝6，a＝3，b＝eq \r( ,c2－a2)＝3eq \r( ,3)，顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1(x>3)．故选C．
(2)由双曲线Γ：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1，得a＝2，b＝eq \r( ,2)，c＝eq \r( ,6).
因为∠F2AB＝∠F2BA，
所以|F2A|＝|F2B|.
如图，作F2C⊥AB于点C，则C是AB的中点．
设|F2A|＝|F2B|＝x，x>0，
则由双曲线的定义得|F2A|－|F1A|＝2a＝4，|F1B|－|F2B|＝2a＝4，
可得|F1A|＝x－4，|F1B|＝x＋4，
【敲黑板】利用定义用同一个参数x表示|F1A|，|F1B|的长度，进而用两种方式表示cs∠F1BF2，列方程求解．
所以|AB|＝8，即|BC|＝4，故cs∠F1BF2＝eq \f(|CB|,|BF2|)＝eq \f(4,x).
又在△BF1F2中，由余弦定理得cs∠F1BF2＝eq \f(|F1B|2＋|F2B|2－|F1F2|2,2|F1B|·|F2B|)
＝eq \f(x＋42＋x2－2\r( ,6)2,2x＋4·x)＝eq \f(x2＋4x－4,x＋4·x)，
所以eq \f(4,x)＝eq \f(x2＋4x－4,x＋4·x)，解得x＝2eq \r( ,5).故选C．
(3)由题设，知F1(－4,0)，F2(4,0)，E(0,2)，圆E的半径r＝1，由点P为双曲线C右支上的动点，知|PF1|＝|PF2|＋6，
∴|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋6，
∴(|PF1|＋|PQ|)min＝(|PF2|＋|PQ|)min＋6＝|F2E|－r＋6＝2eq \r( ,5)－1＋6＝5＋2eq \r( ,5).故选A．
1．①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解此类题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a0，b>0)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r( ,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\r( ,3)，))所以该双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1；
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方
讨论焦点所在的轴为常规思路，但计算量稍大．
程是eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,\f(a,b)＝\r( ,3)，))无解．故该双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
方法二：把x＝2代入渐近线方程y＝eq \r( ,3)x中，得y＝2eq \r( ,3)>3，又点(2,3)在第一象
分析(2,3)与渐近线位置可确定焦点所在的轴．
限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r( ,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\r( ,3)，))所以该双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
方法三：因为双曲线的渐近线的方程为y＝±eq \r( ,3)x，即eq \f(y,\r(,3))＝±x，由渐近线的方程可设双曲线的方程．
所以可设双曲线的方程是x2－eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(3)设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴双曲线的方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件结合双曲线的定义判断出动点轨迹是双曲线，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”．如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
也可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，mx2－ny2＝1(mn＞0)．
注意：①双曲线与椭圆方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；mn0)；
(ⅲ)已知渐近线为eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0的双曲线的方程可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0).eq \(\s\up7( ),\s\d5( ))
对点练2(1)(2024·天津塘沽一中模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋6＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 B．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1
(2)(2024·辽宁名校联考)焦点在x轴上的双曲线C与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1有共同的渐近线，且C的焦点到一条渐近线的距离为3eq \r( ,2)，则双曲线C的方程为____________．
解析：(1)圆C：x2＋y2－6x＋6＝0，整理为(x－3)2＋y2＝3，圆心(3,0)，半径r＝eq \r( ,3)，双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0.
由题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(|3b|,\r( ,a2＋b2))＝\r( ,3)，,c＝3，,a2＋b2＝c2，))解得b2＝3，c2＝9，a2＝6，所以双曲线的方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1.故选C．
(2)由题意可设双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝λ(λ>0)，即eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,9λ)＝1，又因为焦点到渐近线的距离为3eq \r( ,2)，所以eq \r( ,9λ)＝3eq \r( ,2)，解得λ＝2，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,18)＝1.
答案：(1)C (2)eq \f(x2,8)－eq \f(y2,18)＝1
题型 双曲线的几何性质的多维研讨
维度1 与渐近线有关的问题
典例3 (1)(2023·全国甲卷，理)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
圆中的弦长可采用几何法：半径2＝半弦2＋弦心距2.
A．eq \f(1,5) B．eq \f(\r(5),5) C．eq \f(2\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
(2)(2024·安徽宣城模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限内的点，直线PO交双曲线C的左支于点M，直线PF2交双曲线C的右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，
|OP|＝|OM|⇒▱PF1MF2.
则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x
C．y＝±2x D．y＝±2eq \r(2)x
解析：(1)因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq \r( ,5)，所以由e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝5，得eq \f(b,a)＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.由题意知渐近线y＝2x与圆相交，圆心(2,3)到直线y＝2x的距离d＝eq \f(|2×2－3|,\r( ,12＋22))＝eq \f(\r( ,5),5)，所以|AB|＝2eq \r( ,1－d2)＝2eq \r( ,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r( ,5),5)))2)＝eq \f(4\r( ,5),5).故选D．
(2)连接F1M.∵点P是双曲线C在第一象限内的点，
∴|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵直线PO交双曲线C的左支于点M，
∴由对称性可知|PO|＝|OM|.
又∵|OF1|＝|OF2|，
∴四边形PF1MF2为平行四边形，
∴|MF2|＝|PF1|＝4a.
在△POF2中，由余弦定理，得4a2＝|PO|2＋c2－2c|PO|cs∠POF2①，
在△POF1中，由余弦定理，得16a2＝|PO|2＋c2＋2c|PO|cs∠POF2②，
由①＋②，得20a2＝2|PO|2＋2c2，
消掉角，找到边之间的联系．
∴|PO|2＝10a2－c2，即|PO|＝eq \r(10a2－c2)，
∴|PM|＝2eq \r(10a2－c2).又∵直线PF2交双曲线C的右支于点N，且∠MF2N＝60°，∴∠MF2P＝120°.在△PMF2中，由余弦定理，得4(10a2－c2)＝4a2＋16a2－2×2a×4a×cs 120°，即c2＝3a2，又知c2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝3a2，∴eq \f(b2,a2)＝2，∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.故选A．
(1)若双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则其渐近线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即y＝±eq \f(b,a)x.
(2)若双曲线的渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，即eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(3)若所求双曲线与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C的右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．eq \r( ,3)x±y＝0 B．2x±eq \r( ,7)y＝0
C．eq \r( ,3)x±2y＝0 D．2x±eq \r( ,3)y＝0
(2)(2022·全国甲卷，理)若双曲线y2－eq \f(x2,m2)＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________.
解析：(1)∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|).
即eq \f(1,2)＝eq \f(3a2＋a2－4c2,2×3a×a)，
∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r( ,3),2)x，即eq \r( ,3)x±2y＝0.故选C．
(2)双曲线y2－eq \f(x2,m2)＝1(m>0)的渐近线为y＝±eq \f(x,m)，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r＝1，依题意，圆心(0,2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝eq \f(|2m|,\r( ,1＋m2))＝1，解得m＝eq \f(\r( ,3),3)或m＝－eq \f(\r( ,3),3)(舍去)．
答案：(1)C (2)eq \f(\r( ,3),3)
维度2 求双曲线的离心率
典例4 (1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则C的离
勾股定理：|AF1|2＋|BF1|2＝|AB|2. eq \a\vs4\al(可求得|AF2|与|BF2|的关系.)
心率为________．
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，两条渐近线分别为l1，l2.点A在l1上，点B在l2上，且点A位于第一象限，原点O与B关于直线AF对称．若|AF|＝2b，则C的离心率为________．
可知OB⊥AF且|FP|＝b⇒|AP|＝b⇒∠FOP＝∠AOP＝∠AOx＝60 °.
(3)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，则双曲线离心率的取值
|AB|＝eq \f(2b2,a) |CD|＝eq \f(2bc,a)
范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))
解析：(1)方法一：依题意，设|AF2|＝2m，
设边长，转化成解三角形问题．
则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，m>0.
在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，
所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，
故cs∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，
所以在△AF1F2中，cs∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，整理得5c2＝9a2，
故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5).
方法二：依题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，
令A(x0，y0)，B(0，t)，设坐标，借助向量运算．
因为eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，所以(x0－c，y0)＝－eq \f(2,3)(－c，t)，则x0＝eq \f(5,3)c，y0＝－eq \f(2,3)t.
又eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，所以eq \(F1A,\s\up6(→))·eq \(F1B,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))·(c，t)＝eq \f(8,3)c2－eq \f(2,3)t2＝0，则t2＝4c2.
又点A在C上，则eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(\f(4,9)t2,b2)＝1，
整理得eq \f(25c2,9a2)－eq \f(4t2,9b2)＝1，则eq \f(25c2,9a2)－eq \f(16c2,9b2)＝1，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)·(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，
又e>1，所以e＝eq \f(3\r(5),5)或e＝eq \f(\r(5),5)(舍去)，
故e＝eq \f(3\r(5),5).故答案为eq \f(3\r(5),5).
(2)依题意，l1的方程为y＝eq \f(b,a)x.因为原点O与B关于直线AF对称，所以AF⊥l2，如图，设AF与l2的垂足为P，则|FP|＝b.因为|AF|＝2b＝2|FP|，所以点F，A关于直线l2对称，∠FOP＝∠AOP，又l1，l2关于y轴对称，所以∠FOP＝∠AOx，所以l1的倾斜角为eq \f(1,3)×180°＝60°，故eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r( ,3)，所以离心率e＝eq \r( ,1＋\f(b2,a2))＝2.
故答案为2.
(3)由题可知|AB|＝eq \f(2b2,a)，不妨设Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(bc,a)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(bc,a)))，则|CD|＝eq \f(2bc,a)，∴eq \f(2b2,a)≥eq \f(3,5)·eq \f(2bc,a)，∴b≥eq \f(3,5)c，b2≥eq \f(9,25)c2，∴c2－a2≥eq \f(9,25)c2，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(25,16)，所以eq \f(c,a)＝e≥eq \f(5,4).故选B．
求双曲线离心率的方法
(1)直接法：由题设条件求出a，c，从而得e.
(2)等价转化法：由e＝eq \f(c,a)或e＝eq \r( ,1＋\f(b2,a2))等公式将已知条件转化为关于e的等式，从而得e.
对点练4 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作直线y＝－eq \f(b,a)x的垂线，垂足为M，且交双曲线的左支于点N，若eq \(FN,\s\up6(→))＝2eq \(FM,\s\up6(→))，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \r( ,7) B．eq \r( ,5)
C．2 D．eq \r( ,3)
(2)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
解析：(1)方法一(几何法)：设双曲线的左焦点为F1，连接NF1，设O为坐标原点．
∵eq \(FN,\s\up6(→))＝2eq \(FM,\s\up6(→))，∴M为FN的中点，又O为F1F的中点，
∴OM∥F1N.
∵FM⊥OM，直线y＝－eq \f(b,a)x即为直线bx＋ay＝0，
∴|FM|＝eq \f(bc,\r( ,b2＋a2))＝b，|OM|＝a.
∴|FN|＝2b，|F1N|＝2a，|FN|－|F1N|＝2a.∴2b－2a＝2a⇒b＝2a.∴e＝eq \r( ,5).
方法二(解析法)：∵FM垂直于直线y＝－eq \f(b,a)x，
∴直线FM的方程为y＝eq \f(a,b)(x－c)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(a,b)x－c，,y＝－\f(b,a)x，))∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，－\f(ab,c))).
∵eq \(FN,\s\up6(→))＝2eq \(FM,\s\up6(→))，∴Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2,c)－c，－\f(2ab,c))).
∵点N在双曲线上，∴将点N的坐标代入双曲线，
得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2－c2,c)))2,a2)－eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2ab,c)))2,b2)＝1⇒e＝eq \r( ,5).
(2)在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理，得|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝eq \f(c,a)1，所以10)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a， x∈R
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实轴、
虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)