2021高考数学一轮复习学案：第八章8.4直线与圆的位置关系

§8.4　直线与圆的位置关系

判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．

d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．

(2)代数法：

概念方法微思考

1．过一定点作圆的切线，切线条数可能有几种情况．

提示　三种情况，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．

2．求圆的弦长有几种常用方法．

提示　三种．

(1)用代数法求出弦的端点坐标，然后利用两点间的距离公式．

(2)利用半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形．

(3)利用弦长公式．若斜率为k的直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝|x1－x2|＝|y1－y2|(其中k≠0)，特别地，当k＝0时，AB＝|x1－x2|，当斜率不存在时，AB＝|y1－y2|.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　×　)

(2)直线y＝kx＋1和圆x2＋y2＝4一定相交．(　√　)

(3)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　)

(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　)

(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　√　)

题组二　教材改编

2．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．

答案　相交

解析　圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离为＝<，故直线与圆相交．

3．若过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．

答案　1或

解析　将圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，

∴圆心坐标为(1,1)，半径r＝1，

又弦长为，

∴圆心到直线l的距离d＝＝，

设直线l的斜率为k(易知直线l斜率存在)，又直线l过点(－1，－2)，

∴直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，

∴＝，即(k－1)(7k－17)＝0，

解得k＝1或k＝，

则直线l的斜率为1或.

题组三　易错自纠

4．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是________________．

答案　[－2－1,2－1]

解析　圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2，

解得－2－1≤m≤2－1.

5．过点A(3,5)作圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________________．

答案　5x－12y＋45＝0或x－3＝0

解析　化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，

∵AC＝＝>2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当直线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，

即|3－2k|＝2，∴k＝，

故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.

6．(2020·苏北四市摸底)若直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，则实数a的值是________．

答案　－2

解析　圆x2＋y2－2ax＋a＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2－a，

∴圆心为(a,0)，半径为，

圆心到直线的距离为d＝＝.

∵直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，

∴a2＋1＋1＝a2－a，

∴a＝－2(符合a2－a>0)．

直线与圆的位置关系的判断

1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．

答案　相交

解析　因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，

所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离

d＝＝<1.

所以直线与圆相交．

2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________．

答案　相交

解析　直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，

∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，

∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，

直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．

3．在△ABC中，若asin A＋bsin B－csin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是________．

答案　相切

解析　因为asin A＋bsin B－csin C＝0，

所以由正弦定理，得a2＋b2－c2＝0.

故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切．

4．(2019·苏州、无锡、常州、镇江模拟)若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．

答案　[0,10]

解析　圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，

所以圆心为(－1,2)，半径r＝1，

圆心到直线3x＋4y－m＝0的距离

d＝＝，

∵直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，

∴0≤≤1，解得0≤m≤10，

∴实数m的取值范围是[0,10]．

思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

切线问题

例1 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．

(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；

(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；

(3)过切点A(4，－1)．

解　(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，

则＝，∴b＝1±2，

∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.

(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，

则＝，∴m＝±5，

∴切线方程为2x＋y±5＝0.

(3)∵kAC＝＝，

∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，

∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，

即3x＋y－11＝0.

思维升华 解决圆的切线问题的关键是抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系求解．

跟踪训练1 点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为(　　)

A．(2,1)   B．(2,2)

C．(2，)   D．(2,0)

答案　C

解析　如图所示．

设切点为A，B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，AP⊥BP，故四边形OAPB为正方形，

则|OP|＝，

又xP＝2，则P(2，)．

直线与圆相交问题

命题点1　圆的弦长

例2 直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．

答案　2

解析　∵圆x2＋y2＝4的圆心为点(0,0)，半径r＝2，

∴圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝1，

∴弦长AB＝2＝2.

命题点2　直线与圆相交求参数范围

例3 已知直线l：kx－y－2k＝0，圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0.

(1)求证：无论k取何值，直线l与圆C都有两个交点；

(2)若k＝1，求直线l被圆C截得的弦长；

(3)是否存在实数k，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．

(1)证明　直线l的方程可化为k(x－2)－y＝0，

所以直线l过定点(2,0)．

由于22＋02－2×2－2×0－2<0，故点(2,0)在圆C内，

所以直线l与圆C恒有两个交点．

(2)解　当k＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，

圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心C(1,1)，半径r＝2.

圆心C到直线l的距离d＝＝，

所以直线l被圆C截得的弦长为

2＝2＝2.

(3)解　存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由kx－y－2k＝0与x2＋y2－2x－2y－2＝0消元得

(k2＋1)x2－(4k2＋2k＋2)x＋4k2＋4k－2＝0，

x1,2＝，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

因为以线段AB为直径的圆过原点，

所以x1x2＋y1y2＝0，

所以(k2＋1)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，

所以(k2＋1)·－2k2·＋4k2＝0，

所以k＝－1±.

思维升华 (1)直线和圆问题的代数解法就是联立直线方程和圆的方程，通过交点坐标满足的关系式解题，往往“设而不求”．

(2)弦长问题可采用几何法，利用半弦、半径和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形．

跟踪训练2 (1)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则MN＝__________.

答案　4

解析　由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以MN＝|y1－y2|＝4.

(2)(2019·江苏省如东高级中学等四校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝2，直线x＋by－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|＋|≥|－|，则b的取值范围是________________．

答案　∪

解析　设AB中点为M，则|＋|≥|－|，

即2OM≥× 2AM，即OM≥OA＝.

又直线x＋by－2＝0与圆C相交于A，B两点，

所以≤OM<，而OM＝，

所以≤<，解得1<b2≤，

即b的取值范围是∪.

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