新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.9空间距离及立体几何中的探索性问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.9空间距离及立体几何中的探索性问题（含答案解析），共18页。

1.点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2−|AQ|2＝ .
2.点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度，因此PQ＝AP·n|n|＝AP·n|n|＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( )
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度.( )
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.( )
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.( )
2.(2024·新余模拟)已知A(－1，－1，－1)，直线l过原点且平行于a＝(0，1，2)，则A到l的距离为( )
A.255B.1C.305D.355
3.若平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且平面α，β的一个法向量分别为m＝(3，0，－3)，n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是 .
4.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是 .
题型一 空间距离
命题点1 点线距离
例1 四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为( )
A.22B.12C.33D.13
命题点2 点面距离
例2 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0