新高考数学一轮复习考点学案第5章§5.1平面向量的概念及线性运算（含答案解析）

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课标要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( )
(2)单位向量都相等.( )
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
2.下列命题正确的是( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C.向量AB与BA是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
3.在△ABC中，AB＝3AD，则CD等于( )
A.AB－13ACB.AB＋13AC
C.13AB－ACD.13AB＋AC
4.已知a，b是两个不共线向量，向量b－ta与12a－32b共线，则实数t＝ .
1.熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝12(OA＋OB).
(2)在△ABC中，点P满足PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心⇔AP＝13(AB＋AC).
(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2.解决向量的概念问题的两个注意点
(1)不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向.
(2)考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性.
题型一 平面向量的基本概念
例1 (1)下列四个命题中正确的有( )
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”
C.若AB＝DC，则A，B，C，D四点组成平行四边形
D.与非零向量a共线的单位向量为±a|a|
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
A.AD＝BCB.AC＝BD
C.PE＝PFD.EP＝PF
思维升华 平面向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)a|a|是与非零向量a同方向的单位向量.
跟踪训练1 (1)(多选)下列关于向量的说法正确的是( )
A.若|a|＝0，则a＝0
B.若a，b同向，且|a|>|b|，则a>b
C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
(2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1).
①是共线向量的有 ；
②方向相反的向量有 ；
③模相等的向量有 .
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例2 若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
命题点2 向量的线性运算
例3 (2025·广州模拟)在平行四边形ABCD中，点E满足AE＝14AC，则BE等于( )
A.34AB－14ADB.－34AB＋14AD
C.AB－14ADD.－AB＋14AD
命题点3 根据向量线性运算求参数
例4 (2024·宁波统考)在△ABC中，AD＝23AC，BP＝13BD，若AP＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λμ等于( )
A.3B.13
C.32D.23
思维升华 平面向量线性运算的解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的线性运算将向量表示出来进行比较，求参数的值.
跟踪训练2 (1)若|AB|＝7，|AC|＝4，则|BC|的取值范围是( )
A.[3，7]B.(3，7)
C.[3，11]D.(3，11)
(2)如图，在四边形ABCD中，AB＝3DC，E为边BC的中点，若BC＝xAB＋yAD(x，y为实数)，则x＋y＝ ；若AE＝λAB＋μAD(λ，μ为实数)，则λ＋μ＝ .
题型三 共线定理及其应用
例5 (1)(2025·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则( )
A.λμ＝－2B.λμ＝－2
C.λμ＝2D.λμ＝2
(2)如图，在△ABC中，AN＝12NC，P是BN上的点，若AP＝mAB＋14AC，则实数m的值是 .
思维升华 利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
跟踪训练3 (1)(2024·浙江联考)已知向量e1，e2是平面内两个不共线的单位向量，且AB＝e1＋2e2，BC＝－3e1＋2e2，DA＝3e1－6e2，则( )
A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线
(2)如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，m，n∈R，则m＋n的值为 .

答案精析
落实主干知识
1.大小 方向 大小 相同 相反 相等 相同 相等 相反
2.b＋a a＋(b＋c) |λ||a| 相同
相反 0 (λμ)a λa＋μa λa＋λb
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.C [A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；
C项，向量AB与BA方向相反，是平行向量，故C正确；
D项，平行向量就是共线向量，故D错误.]
3.C [∵AB＝3AD，
∴CD＝AD－AC＝13AB－AC.]
4.13
解析 由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ12a−32b，
则t＝−12λ,32λ＝−1,解得t＝13.
探究核心题型
例1 (1)D [A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；C不正确，若AB＝DC，则A，B，C，D四点共线或不共线，当四点不共线时，A，B，C，D才能组成平行四边形；D正确，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为±a|a|.]
(2)D [方法一(排除法)
AD，BC不共线，AC，BD不共线，故A，B错误；PE，PF方向相反，C错误；故选D.
方法二 在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故A，B错误；
∵AB∥CD，∴PDPB＝CDAB＝PCPA，
∴PBPD＝PAPC，
则PB＋PDPD＝PA＋PCPC，
即BDPD＝ACPC，即PDBD＝PCAC，
∵EF∥AB，
∴PEAB＝PDBD＝PCAC＝PFAB，
∴PE＝PF，即P为EF的中点，
∴EP＝PF，故C错误，D正确.]
跟踪训练1 (1)AC [对于A，
若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于B，因为向量不能比较大小，故B错误；
对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，
则|a＋b|