新高考数学一轮复习考点学案第5章§5.2平面向量基本定理及坐标表示（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第5章§5.2平面向量基本定理及坐标表示（含答案解析），共18页。

1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ .
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ ，|AB|＝ .
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.( )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.( )
2.设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于( )
A.(6，3)B.(－2，－6)
C.(2，1)D.(7，2)
3.在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A.12B.－12
C.1D.－1
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为 .
1.熟记以下常用结论
(1)基底{e1，e2}给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为x1＋x22，y1＋y22.
(3)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.
2.谨防三个易误点
(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以零向量不能作为基底中的向量.
(2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列能作为平面向量的基底的是( )
A.{a－b，b－a}B.2a＋b，a＋12b
C.{2b－3a，6a－4b}D.{a＋b，a－b}
(2)(2024·赣州模拟)在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别满足DC＝2DE＝4EF，BC＝2BG，若AF＝λAE＋μAG(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ .
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
跟踪训练1 (1)(2024·北京模拟)在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，若AB＝λCM＋μBN(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
A.－2B.－1
C.1D.2
(2)已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且{a，b}是一个基底，则实数λ的取值范围是 .
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)(多选)(2025·沈阳模拟)如图，已知A(2，1)，B(－3，4)，O为坐标原点，四边形OACB为平行四边形，下列结论正确的是( )
A.点C坐标为(－1，5)
B.OC2＋AB2＝60
C.若AE＝13AB，则点E的坐标为13，1
D.△ABC重心的坐标为23，103
(2)(2025·山西联考)图1是古代中国的太极八卦模型图，图2(正八边形ABCDEFGH)是由图1抽象并以正八边形ABCDEFGH的中心O为旋转中心顺时针旋转π8而得到的，若OG＝xOH＋yOF，则x＋y等于( )
A.2B.32
C.2D.322
思维升华 (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
跟踪训练2 (1)(2024·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ的值为( )
A.43B.53
C.158D.2
(2)在△ABC中，顶点A的坐标为(3，1)，边BC的中点D的坐标为(－3，1)，则△ABC重心的坐标为 .
题型三 向量共线的坐标表示
例3 (1)(2024·汉中模拟)已知向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)，若m与n共线且同向，则实数λ的值为( )
A.2B.4
C.－2D.－2或4
(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 .
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3 (1)(2025·景德镇模拟)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cs α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为( )
A.2B.－2
C.12D.－12
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为 .
答案精析
落实主干知识
1.不共线 λ1e1＋λ2e2
2.互相垂直
3.(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1) x12＋y12 (2)①终点
②(x2－x1，y2－y1)
(x2−x1)2＋(y2−y1)2
4.x1y2－x2y1＝0
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.B [2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).]
3.A [因为E为DC的中点，所以AC＝AB＋AD＝12AB＋12AB＋AD＝12AB＋DE＋AD＝12AB＋AE，即AE＝－12AB＋AC，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.]
4.(1，5)
解析 设D(x，y)，则AB＝DC，
得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，
即4＝5−x,1＝6−y,解得x＝1,y＝5,
即D(1，5).
探究核心题型
例1 (1)D [A选项，b－a＝－(a－b)，
所以a－b，b－a共线，不能作为基底向量.
B选项，2a＋b＝2a＋12b，所以2a＋b，a＋12b共线，不能作为基底向量.
C选项，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共线，不能作为基底向量.
D选项，易知a＋b，a－b不共线，可以作为基底向量.]
(2)76
解析 以{AB，AD}为基底向量，
则可得AF＝AD＋DF＝34AB＋AD，
AE＝AD＋DE＝12AB＋AD，
AG＝AB＋BG＝AB＋12AD，
所以AF＝λAE＋μAG
＝λ12AB＋AD＋μAB＋12AD
＝12λ＋μAB＋λ＋12μAD，
可得12λ＋μ＝34,λ＋12μ＝1,两式相加得32(λ＋μ)＝74，可得λ＋μ＝76.
跟踪训练1 (1)A [CM＝AM－AC＝12AB－AC，BN＝AN－AB＝12AC－AB，
故AB＝λCM＋μBN
＝λ12AB−AC＋μ12AC−AB
＝12λ−μAB＋12μ−λAC，
故12λ−μ＝1,12μ−λ＝0,解得λ＝−23,μ＝−43.
所以λ＋μ＝－23－43＝－2.]
(2)−∞，12∪12，＋∞
解析 因为e1与e2不共线，
a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，
若a与b共线，则a＝μb，μ∈R，
即a＝e1＋2e2＝μ(λe1＋e2)，
所以λμ＝1,μ＝2,解得λ＝12,μ＝2,
因为{a，b}是一个基底，
所以a与b不共线，
所以实数λ的取值范围是
−∞，12∪12，＋∞.
例2 (1)AB [设点C的坐标为(a，b)，OA＝(2，1)，OB＝(－3，4)，OC＝(a，b)，
∵四边形OACB为平行四边形，
∴OC＝OA＋OB＝(2，1)＋(－3，4)
＝(－1，5)，
∴点C的坐标为(－1，5)，选项A正确；
又AB＝(－5，3)，
∴OC2＋AB2＝1＋25＋25＋9＝60，选项B正确；
设点E(x，y)，∵AE＝13AB，
则(x－2，y－1)＝13(－5，3)，
∴x−2＝−53,y−1＝1,解得x＝13,y＝2,
∴点E13，2，选项C错误；
由重心公式可得，△ABC重心的坐标为2−3−13，1＋4＋53，即−23，103，选项D错误.]
(2)A [分别以射线OE，OG为x轴，y轴的正半轴建立平面直角坐标系，
设OE＝OG＝2，则G(0，2)，
∵∠HOG＝∠FOG＝π4，
∴F(2，2)，H(－2，2)，
由OG＝xOH＋yOF，
得(0，2)＝x(－2，2)＋y(2，2)，
∴−2x＋2y＝0,2x＋2y＝2,
解得x＝y＝22，∴x＋y＝2.]
跟踪训练2 (1)B [在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令AB＝2，
则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，
M(2，1)，AC＝(2，2)，
AM＝(2，1)，BD＝(－2，2)，
λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，
因为AC＝λAM＋μBD，
所以2λ−2μ＝2,λ＋2μ＝2,
解得λ＝43，μ＝13，λ＋μ＝53，
所以λ＋μ的值为53.]
(2)(－1，1)
解析 设△ABC的重心为G(x，y)，因为A(3，1)，D(－3，1)，
所以AD＝(－6，0)，
AG＝(x－3，y－1)，
由题意知AG＝23AD，
所以(x－3，y－1)＝23(－6，0)，
即x−3＝23×(−6),y−1＝0,
解得x＝−1,y＝1,
即G(－1，1)，
即△ABC重心的坐标为(－1，1).
例3 (1)C [∵m与n共线，
∴2×(－4)－λ(2－λ)＝0，
即λ2－2λ－8＝0，
解得λ＝4或λ＝－2，
当λ＝4时，m＝(2，4)，n＝(－2，－4)，
∴m＝－n，
∴m与n反向，不符合题意；
当λ＝－2时，m＝(2，－2)，
n＝(4，－4)，∴n＝2m，
∴m与n同向，符合题意.]
(2)(3，3)
解析 方法一 OA＝(4，0)，OB＝(4，4)，OC＝(2，6)，
由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA＝(4λ－4，4λ).又AC＝OC－OA＝(－2，6)，
由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP＝34OB＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
方法二 设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).
跟踪训练3 (1)A [因为a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，
所以a＋b＝(4，sin α)，
又c＝(2，cs α)且(a＋b)∥c，
所以4cs α＝2sin α，
则tan α＝sinαcsα＝2.]
(2)(2，4)
解析 ∵在梯形ABCD中，
CD＝2AB，AB∥CD，
∴DC＝2AB，
设点D的坐标为(x，y)，
则DC＝(4－x，2－y)，
又AB＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即4−x＝2,2−y＝−2,∴x＝2,y＝4,
∴点D的坐标为(2，4).