2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第5章　§5.1　平面向量的概念及线性运算

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考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 ．
(2)零向量：长度为 的向量，记作 ．
(3)单位向量：长度等于 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 ．
(5)相等向量：长度相等且方向 的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向 的向量．
2．向量的线性运算
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．( )
(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( )
(3)若向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( )
教材改编题
1．(多选)下列命题正确的是( )
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
2．下列各式化简结果正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
题型一 平面向量的基本概念
例1 (1)(多选)下列说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关
D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|
(2)(2023·福州模拟)如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和eq \(FC,\s\up6(→))相等的是( )
A.eq \(EF,\s\up6(→)) B.eq \(FB,\s\up6(→)) C.eq \(DF,\s\up6(→)) D.eq \(ED,\s\up6(→))
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思维升华 平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
D．两个终点相同的向量，一定是共线向量
(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量为( )
A.eq \(BA,\s\up6(→)) B.eq \(CD,\s\up6(→)) C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(OD,\s\up6(→))
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
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命题点2 向量的线性运算
例3 (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
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命题点3 根据向量线性运算求参数
例4 (2023·大连模拟)在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，P为线段DE上的动点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D．2
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思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
跟踪训练2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是( )
A.eq \(CH,\s\up6(→))＋eq \(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(FE,\s\up6(→))
C.eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FG,\s\up6(→))＝2eq \(HG,\s\up6(→)) D.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AJ,\s\up6(→))
(2)P是△ABC所在平面上一点，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则( )
A．S1＝4S2 B．S1＝3S2
C．S1＝2S2 D．S1＝S2
(3)在△ABC中，P是BC上一点，若eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则2λ＋μ＝________.
题型三 共线定理及其应用
例5 已知O，A，B是不共线的三点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
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思维升华 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
跟踪训练3 (1)若a，b是两个不共线的向量，已知eq \(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq \(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq \(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于( )
A．－1 B．1 C.eq \f(3,2) D．2
(2)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，AM与CN交于点D，eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))，则λ等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,6)向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ ；
结合律：(a＋b)＋c＝________
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝ ，当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ＝0时，λa＝
λ(μa)＝ ；
(λ＋μ)a＝ ；
λ(a＋b)＝