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新高考数学一轮复习课件 第5章 §5.1 平面向量的概念及线性运算（含详解）
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第5章 §5.1 平面向量的概念及线性运算（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，个单位，向量的线性运算，b＋a，a＋b＋c，λμa，λa＋μa，λa＋λb等内容，欢迎下载使用。
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的____ .(2)零向量：长度为 的向量，记作 .(3)单位向量：长度等于 长度的向量.(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 .(5)相等向量：长度相等且方向 的向量.(6)相反向量：长度相等且方向 的向量.
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( )(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( )(3)若 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( )
1.(多选)下列命题正确的是A.零向量是唯一没有方向的向量B.零向量的长度等于0D.若a＝b，b＝c，则a＝c
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
D项，由向量相等的定义知D正确.
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝____.
由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
例1 (1)(多选)下列说法中正确的是A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等C.若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关D.若a与b是相反向量，则|a|＝|b|
对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，0的相反向量为0，B错误；对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确.
平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是A.向量 的长度与向量 的长度相等B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D.两个终点相同的向量，一定是共线向量
对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；对于C，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误.
命题点1 向量加、减法的几何意义
例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是_____.
当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.
命题点2 向量的线性运算例3 (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m， ，则等于A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n
命题点3 根据向量线性运算求参数
平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
跟踪训练2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是
D项，连接BF，JF，由五角星的性质可得四边形ABFJ为平行四边形，
设AP与BC的距离为h，
例5 已知O，A，B是不共线的三点，且 (m，n∈R).(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
则A，P，B三点共线.
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，
在△ABC中，因为点M是BC的中点，
1.化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为A.a＋4b B.－a－9bC.2a＋b D.a－3b
2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.
2.(多选)下列命题中，正确的是A.若a∥b，b∥c，则a∥cB.在△ABC中， ＝0C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的 方向一定相同
对于A选项，0平行于任何向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一定满足a∥c，故A错误；对于B选项，首尾顺次相接，正确；对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；对于D选项，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误.
3.设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当|b|＝0时，b＝0，则|a＋b|＝|a＋0|＝|a|，故“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的必要不充分条件.
因为A，B，D三点共线，
所以2a＋6b＝λa＋mλb，
A.1 B.2 C.3 D.4
因为四边形ABCD是边长为1的正方形，
A.1 B.2C.3 D.4
∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.
7.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于
因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以ka＝b，k≠0，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因为向量e1，e2是两个不共线的向量，
∵向量ta＋b与a＋3b平行，∴存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)，化为(t－k)a＋(1－3k)b＝0，∵向量a，b不平行，
9.设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为____.
如图，设F为BC的中点，
又G，D，E三点共线，
12.已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是
由平行四边形法则知NP∥AB，
由点Q，B，D三点共线可得x＋3y＝1，x>0，y>0，
15.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是
所以点M，B，C三点不共线，B错误；
如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，
由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，
16.如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，
连接AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的____ .(2)零向量：长度为 的向量，记作 .(3)单位向量：长度等于 长度的向量.(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 .(5)相等向量：长度相等且方向 的向量.(6)相反向量：长度相等且方向 的向量.
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( )(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( )(3)若 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( )
1.(多选)下列命题正确的是A.零向量是唯一没有方向的向量B.零向量的长度等于0D.若a＝b，b＝c，则a＝c
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
D项，由向量相等的定义知D正确.
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝____.
由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
例1 (1)(多选)下列说法中正确的是A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等C.若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关D.若a与b是相反向量，则|a|＝|b|
对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，0的相反向量为0，B错误；对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确.
平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是A.向量 的长度与向量 的长度相等B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D.两个终点相同的向量，一定是共线向量
对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；对于C，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误.
命题点1 向量加、减法的几何意义
例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是_____.
当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.
命题点2 向量的线性运算例3 (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m， ，则等于A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n
命题点3 根据向量线性运算求参数
平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
跟踪训练2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是
D项，连接BF，JF，由五角星的性质可得四边形ABFJ为平行四边形，
设AP与BC的距离为h，
例5 已知O，A，B是不共线的三点，且 (m，n∈R).(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
则A，P，B三点共线.
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，
在△ABC中，因为点M是BC的中点，
1.化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为A.a＋4b B.－a－9bC.2a＋b D.a－3b
2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.
2.(多选)下列命题中，正确的是A.若a∥b，b∥c，则a∥cB.在△ABC中， ＝0C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的 方向一定相同
对于A选项，0平行于任何向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一定满足a∥c，故A错误；对于B选项，首尾顺次相接，正确；对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；对于D选项，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误.
3.设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当|b|＝0时，b＝0，则|a＋b|＝|a＋0|＝|a|，故“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的必要不充分条件.
因为A，B，D三点共线，
所以2a＋6b＝λa＋mλb，
A.1 B.2 C.3 D.4
因为四边形ABCD是边长为1的正方形，
A.1 B.2C.3 D.4
∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.
7.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于
因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以ka＝b，k≠0，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因为向量e1，e2是两个不共线的向量，
∵向量ta＋b与a＋3b平行，∴存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)，化为(t－k)a＋(1－3k)b＝0，∵向量a，b不平行，
9.设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为____.
如图，设F为BC的中点，
又G，D，E三点共线，
12.已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是
由平行四边形法则知NP∥AB，
由点Q，B，D三点共线可得x＋3y＝1，x>0，y>0，
15.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是
所以点M，B，C三点不共线，B错误；
如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，
由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，
16.如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，
连接AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，
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