新高考数学一轮复习考点学案第4章§4.9解三角形中的最值与范围问题（含答案解析）

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题型一 利用基本不等式求最值(范围)
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acsA＝3bsinB.
(1)求角A；
(2)若a＝2，求：
①△ABC面积的最大值；
②△ABC周长的取值范围.
思维升华 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S＝12bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤b＋c22，即可求得b＋c的最值.
跟踪训练1 (2024·茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acs B－bcs A－a＋c＝0.
(1)求B的值；
(2)若M为AC的中点，且a＋c＝4，求BM的最小值.
题型二 转化为三角函数求最值(范围)
例2 已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsin A＝3(c－acs B).
(1)求A的大小；
(2)若a＝6，求b＋c的取值范围.
思维升华 利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
跟踪训练2 (2024·菏泽模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin2B＋csin2C＝(b＋c)sin2A.
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，c＝2，求边长b的取值范围.
答案精析
例1 解 (1)由acsA＝3bsinB，
结合正弦定理asinA＝bsinB，
得sinAcsA＝3sinBsinB＝3，
∴tan A＝3，
又∵A∈(0，π)，∴A＝π3.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得4＝b2＋c2－bc.
①4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
∴S△ABC＝12bcsin A≤12×4×32＝3，
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为3.
②∵4＝b2＋c2－bc，
∴4＝(b＋c)2－3bc，
∴(b＋c)2－4＝3bc≤3·b＋c22，
即(b＋c)2≤16，
∴b＋c≤4，
当且仅当b＝c＝2时等号成立，
又b＋c>a＝2，
∴2