新高考数学一轮复习考点学案第5章§5.3平面向量的数量积（含答案解析）

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1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 .
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cs θ e.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝ .
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.( )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a||b|.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.( )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )
2.(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)等于( )
A.2B.1C.0D.－1
3.已知a＝(1，2)，|b|＝23，a·b＝－3，则a与b的夹角为 .
4.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为2π3，且a＋b＋c＝0，则|c|＝ .
熟记以下常用结论
(1)平面向量数量积运算的常用公式
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.
(2)有关向量夹角的两个结论
①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
②若a与b的夹角为钝角，则a·b0)，所以P(λ，0)，
所以DP＝(λ，－1)，
PC＝(1－λ，1)，
所以PC·DP＝λ(1－λ)－1
＝－λ2＋λ－1＝－λ−122－34，
所以当λ＝12时，PC·DP取得最大值为－34.
方法二 如图，
取CD的中点O，
连接PO，
PC·DP＝－PC·PD
＝－(PO2－OC2)＝14－PO2，
又|PO|min＝1，
所以(PC·DP)max＝14－1＝－34.
例2 3
解析 方法一 因为|a＋b|＝|2a－b|，
即(a＋b)2＝(2a－b)2，
则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得a2－2a·b＝0，
又因为|a－b|＝3，即(a－b)2＝3，
则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，
所以|b|＝3.
方法二 设c＝a－b，
则|c|＝3，a＋b＝c＋2b，
2a－b＝2c＋b，
由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，
则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝3.
例3 D [由题意可知，
|a|＝|b|＝1，
因为(a－b)·a＝a2－a·b
＝1－a·b＝12，
得a·b＝12，
所以(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝3，
即a−2b＝3，
又(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－32，
可得cs〈a－2b，b〉＝(a−2b)·ba−2bb＝−323×1＝－32，且〈a－2b，b〉∈0，π，所以a－2b与b的夹角为5π6.]
例4 D [因为b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，
即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.]
例5 C [由|a＋b|＝(a＋b)2
＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝13＋2a·b＝4可得a·b＝32，
而b在a上的投影向量为
|b|cs〈a，b〉|a|a＝a·b|a|2a＝324a
＝38a.]
跟踪训练2 (1)B [由向量a＝(1，0)，b＝(m，23)，可得a·b＝m且a＝1，
因为向量b在a方向上的投影向量为2a，可得a·ba·aa＝ma＝2a，所以m＝2.]
(2)B [因为(b－2a)⊥b，
所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，
又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，
从而|b|＝22.]
(3)D [如图，
若|a|＝|b|＝|a＋b|，则△OAC为等边三角形，则向量a与向量a－b的夹角为30°.]
例6 ACD [由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cs θ
＝2|F1|2＋2|F1|2cs θ，
所以|F1|2＝|G|22(1＋csθ).
当θ＝0时，|F1|min＝12|G|；
当θ＝π2时，|F1|＝22|G|；
当θ＝2π3时，|F1|＝|G|，
故A，C，D正确；
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误.]
跟踪训练3 D [因为A(－1，－1)，B(1，－1)，所以AB＝(2，0)，
又F＝(6，24)，
故力F对冰球所做的功为
W＝F·AB＝12.]
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝
模
|a|＝___________
|a|＝
夹角
cs θ＝
cs θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤(x12＋y12)(x22＋y22)