第五章 第一节 平面向量的基本概念及线性运算-2022届新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第一节 平面向量的概念及其线性运算

知识回顾 

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

课前检测

1.以下说法中正确的个数是(　　)
① 与 是否相等与 ， 的方向无关
② 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
③ 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
④ 单位向量都是共线向量
⑤ 零向量的长度为 ，没有方向

A． B． C． D．

2.已知 是 所在平面内一点， 为 边的中点，且 ，那么(　　)

A．
B．
C．
D．

3．(多选)下列四个命题中，错误的是(　　)

A．若a∥b，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a|＝|b|

4.在四边形 中，若 ，且 ，则 的面积为________．

5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2＋＝2＋，则四边形ABCD的形状为________．

6．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.

课中讲解   

考点一.平面向量的有关概念

例1.下列关于向量的叙述不正确的是(　　)

A．向量的相反向量是   
B．模为 的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若 四点在同一条直线上，且，则      
D．若向量与满足关系，则与共线

变式1．若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中：

①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；

②若a与a0平行，则a＝|a|a0；

③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，

假命题的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

例2.（多选）下列关于平面向量的说法中不正确的是(　　)

A．已知 ， 均为非零向量，则 存在唯一的实数 ，使得
B．若向量 ， 共线，则点 ，，， 必在同一直线上
C．若 且，则
D．若点 为 的重心，则

变式2．(多选)给出下列命题，不正确的有(　　)

A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形

C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b

D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线

考点二．向量的线性运算

例1.如图，在平行四边形 中， 是对角线的交点，下列结论正确的是(　　)

A．，
B．
C．
D．

变式1.已知下列各式：
①
②
③
④
其中结果为零向量的个数为(　　)

A． B． C． D．

例2.如图所示，已知正六边形 ， 是它的中心，若 ，，试用 ， 将向量 ，，， 表示出来．
​​

​

变式2.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)

A.－   B.－

C.＋   D．＋

例3.在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　)

A．＝＋　　　　 B.＝＋

C．＝＋   D．＝＋

变式3.在 中，有命题
① ；
② ；
③ 若 ，则 为等腰三角形；
④ 若 ，则 为锐角三角形．
上述命题正确的是(　　)

A．①② B．①④ C．②③ D．②③④

考点三．根据向量线性运算求参数

例1.在 中，， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为(　　)

A． B．
C． D．

变式1.已知 与 是两个不共线向量，且向量 与 共线，则 ________．

例2.已知，若点及实数满足：且，则的值为(　　)

A． B． C． D．

变式2.在三角形 中，点 在线段 的延长线上，且 ，点 在线段 上 （与点 ， 不重合），若 ，则 的取值范围是________ ．

例3.如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)

A．1  B.2

C．3  D．4

考点三.共线向量定理的应用

例1.设两个非零向量 与 不共线．已知 ，，若 ，且 ，， 三点共线，则 ____________．

变式1.如图：已知，在 中，点 是 的中点，点 是将向量 分为 的一个分点， 和 交于点 ，则 与 的比值是(　　)

A． B．
C． D．

例2　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．

(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；

(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.

变式2.设向量，不平行，向量与平行，则实数________ ．

课后习题

一．单选题

1.如图，， 是  的边  上的两点，且 ，则化简  的结果为(　　)

A．
B．
C．
D．

2.已知 ，，，则(　　)

A．、、 三点共线 B．、、 三点共线
C．、、 三点共线 D．、、 三点共线

3.在  中，已知  是  延长线上一点，若 ，点  为  线段的中点，，则 (　　)

A． B．
C． D．

4.【2020年4月江苏镇江润州区镇江市第二中学高一下学期月考数学试卷】有下列四个命题：
① 互为相反向量的两个向量模相等
② 若向量 与 是共线的向量，则点 ，，， 必在同一条直线上
③ 若 ，则 或
④ 若 ，则 或
其中正确结论的个数是(　　)

A． B． C． D．

5.在等腰梯形  中，， 为  的中点，则 (　　)

A．
B．
C．
D．

6.平面向量 ， 共线的充要条件是(　　)

A．， 方向相同
B．， 两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数 ，，

7．P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为(　　)

A．2  B.3

C．4  D．8

8．在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A.  B.－

C．2  D．－2

9．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则(　　)

A．m＋n是定值，定值为2

B．2m＋n是定值，定值为3

C.＋是定值，定值为2

D.＋是定值，定值为3

二．多选题

10．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是(　　 )

A.－＝

B.＋＋＝0

C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形

D．若·＞0，则△ABC为锐角三角形

11．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)

A．若＝＋，则点M是边BC的中点

B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上

C．若＝－－，则点M是△ABC的重心

D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的

12．已知向量，则与共线的单位向量（    ）

A． B．

C． D．

13．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ）

A．若，则点是边的中点

B．若，则点在边的延长线上

C．若，则点是的重心

D．若，且，则的面积是的面积的

三．填空题

14．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．

15．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．

16.，， 分别为 的边 ，， 上的中点，且 ，，给出下列命题：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确命题的序号为 ________．

17．设a是已知的平面向量，向量a，b，c在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；

③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；

④若|a|＝2，存在单位向量b，c和正实数λ，μ，使a＝λb＋μc，则3λ＋3μ>6.

其中真命题是__________．

四．解答题

18.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若＝λ，△ABC与△APQ的面积之比为，求实数λ的值．

19．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．

扫码关注学科网数学服务号，获取优质数学教育资源

↓↓↓