2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.9解三角形中的最值与范围问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.9解三角形中的最值与范围问题(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了9　解三角形中的最值与范围问题等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【名师点拨】
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.

【必练核心题型】
题型一 利用基本不等式求最值(范围)
【典例】1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acsA＝3bsinB.
(1)求角A；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由acsA＝3bsinB，
结合正弦定理asinA＝bsinB，得sinAcsA＝3sinBsinB＝3，
所以tan A＝3，
又因为A∈(0，π)，所以A＝π3.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
所以S△ABC＝12bcsin A≤12×4×32＝3，
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为3.
思维升华 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S＝12bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤b＋c22，即可求得b＋c的最值.
【变式训练】
变式1.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，求△ABC周长的最大值.
【解析】(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，
得b2＋c2＋bc＝a2，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得，cs A＝b2＋c2−a22bc＝－12，
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