新高考数学一轮复习考点学案第3章§3.5导数与函数的最值（含答案解析）

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1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 .
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.( )
(2)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.( )
(3)函数的极大值不一定是最大值，但一定不是最小值.( )
(4)有极值的函数一定有最值，但有最值的函数不一定有极值.( )
2.函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是( )
A.1，－1B.1，－17
C.3，－17D.9，19
3.函数y＝lnxx的最大值为( )
A.e－1B.e
C.e2D.10
4.函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a的值为 .
解题时灵活应用以下几个关键点
(1)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
(2)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
题型一 利用导数求函数的最值
例1 已知函数f(x)＝(x－1)ex－12ax2.
(1)若a＝e，求f(x)在[0，2]上的最值；
(2)若a>0，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x−ax－ln x(a∈R)，求f(x)在(0，e]上的最大值.
题型二 已知函数的最值求参数
例2 (2024·淮安模拟)已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x，a∈R.若f(x)在[1，e]上的最小值为－2a，求a的取值范围.
思维升华 含参数最值问题，关键是先讨论函数的单调性，利用单调性画出草图，借助函数图象，分类讨论最值问题，由最值求参数的值时，要注意检验所求的值是否满足分类讨论的条件.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝xln x－(a＋1)x＋1(a>0)，若f(x)在1，e上的值域为1−2e，−2，求实数a的值.
题型三 生活中的优化问题
例3 我国是一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟在长100米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓(设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径之比为1∶10，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边)，已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷(π取近似值3)( )
A.105 000吨B.68 160吨
C.157 000吨D.146 500吨
思维升华 解决最优化问题，应从以下几个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.
跟踪训练3 (2025·宁德模拟)为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本c(x)(单位：万元)与ln x10成正比(其中x(单位：台)表示产量)，并知当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价p(x)(单位：万元)与产量x(单位：台)的函数关系为p(x)＝－x100＋10x＋5150(其中x≥10).若生产的产品当年能全部售完，则该工厂的最大年利润为 万元.(参考数据：取ln 2为0.7，ln 3为1.1，ln 5为1.6)
答案精析
落实主干知识
2.(1)极值 (2)f(a)，f(b)
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.C [f '(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令f '(x)>0，得x>1或xe时，y'0，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex－a≤0，f '(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝e2－2a；
②当10，f '(x)0时，由f '(x)>0，
可得00，
则x>a或0