新高考数学一轮复习考点学案第3章§3.6函数中的构造问题（含答案解析）

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题型一 导数型构造函数
命题点1 利用f(x)与x构造函数
例1 (2024·绵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf '(x)>0成立，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝lg319·f lg319，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>cB.c>b>a
C.c>a>bD.a>c>b
思维升华 (1)出现nf(x)＋xf '(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).
(2)出现xf '(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)xn.
跟踪训练1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf '(x)－f(x)0的解集是( )
A.(－∞，ln 2)B.(ln 2，＋∞)
C.(0，e2)D.(e2，＋∞)
命题点2 利用f(x)与ex构造函数
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f '(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为 .
思维升华 (1)出现f '(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).
(2)出现f '(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)enx.
跟踪训练2 已知f(x)为定义在R上的可导函数，f '(x)为其导函数，且f(x)0，则( )
A.f π33f π3
思维升华 函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，
F'(x)＝f '(x)sin x＋f(x)cs x；
F(x)＝f(x)sinx，
F'(x)＝f'(x)sinx−f(x)csxsin2x；
F(x)＝f(x)cs x，
F'(x)＝f '(x)cs x－f(x)sin x；
F(x)＝f(x)csx，
F'(x)＝f'(x)csx＋f(x)sinxcs2x.
跟踪训练3 (2024·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f '(x).若对任意的x∈(0，π)，有f '(x)sin x－f(x)cs x2f π6sin x的解集为( )
A.0，π3B.0，π6
C.π3，πD.π6，π
题型二 同构法构造函数
命题点1 双变量同构
例4 已知α，β均为锐角，且α＋β－π2>sin β－cs α，则( )
A.sin α>sin βB.cs α>cs β
C.cs α>sin βD.sin α>cs β
命题点2 指对同构
例5 (多选)若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是( )
A.a>ln bB.abD.ea0，b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
(2)商型：eaa≤blnb，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：eaa≤elnblnb，构造函数f(x)＝exx；
②同右构造形式：ealn ea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
跟踪训练4 (1)若2x－2y0B.ln(y－x＋1)0D.ln|x－y|e)在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a的最大值为 .
答案精析
例1 A [令g(x)＝xf(x)，x∈R，
因为f(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
又因为当x∈(－∞，0]时，
f(x)＋xf '(x)>0，
所以当x∈(－∞，0]时，g'(x)＝f(x)＋xf '(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上单调递增，
又g(x)为奇函数，
所以g(x)在R上单调递增，
又因为a＝30.2·f(30.2)＝g(30.2)，
b＝ln 2·f(ln 2)＝g(ln 2)，
c＝lg319·f lg319
＝glg319＝g(－2)，
又－20恒成立，g(x)为增函数，
则g(2 025)1时，f'(x)