新高考数学一轮复习考点学案第4章§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式（含答案解析）

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1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
2.三角函数的诱导公式
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )
(2)若α，β∈R，则sin2α＋cs2β＝1.( )
(3)若α∈R，则tan α＝sinαcsα恒成立.( )
(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.( )
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A.sin(－x)＝sin xB.sin3π2−x＝cs x
C.csπ2＋x＝－sin xD.cs(x－π)＝－cs x
3.已知sin α－cs α＝54，则sin 2α等于( )
A.－916B.－716
C.716D.916
4.已知α是第三象限角，sin α＝－35，则tan α＝ .
1.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(2)sin α＝tan αcs αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.谨防两个易误点
(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
(2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化，应用时要注意.
题型一 同角三角函数基本关系式
例1 (1)(2025·昭通模拟)若sin θ＝－2cs θ，则sin θ(sin θ＋cs θ)等于( )
A.－65B.－25
C.25D.65
(2)(2024·沈阳模拟)已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝15，则tan α等于( )
A.－34B.34
C.－43D.43
思维升华 (1)利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcsα＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z可以实现角α的弦切互化.
(2)形如asinα＋bcsαcsinα＋dcsα，asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α等类型可进行弦化切.
(3)对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
跟踪训练1 (1)(2024·广州模拟)已知sin α－cs α＝22，则tan α＋1tanα的值为( )
A.－14B.－4
C.14D.4
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0，π2，tan θ＝12，则sin θ－cs θ＝ .
题型二 诱导公式
例2 (1)若sin(π＋α)＝13，则sin(π－α)＋csπ2−α等于( )
A.－23B.23
C.223D.－223
(2)(2024·沧州模拟)已知csπ4＋x＝13，则sin5π4−x等于( )
A.－13B.13
C.223D.－223
思维升华 诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
跟踪训练2 (1)(2024·镇江模拟)已知α为锐角，且csα＋π6＝35，则sin5π6−α等于( )
A.35B.－45
C.45D.±45
(2)tan(π−α)cs(2π−α)sin−α＋3π2cs(−α−π)sin(−π−α)的值为 .
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 (1)(2024·商洛模拟)已知sin(5π＋α)＝5sin9π2＋α，则sin 2α＋sin2α等于( )
A.－926B.1126
C.1526D.2013
(2)已知α∈0，π2，β∈π2，π，且sinπ2＋α＝3csβ−π2，3sin(π＋α)＝sinπ2−β，则β－α＝ .
思维升华 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
跟踪训练3 (1)若sin(3π＋α)＝12，α∈π，3π2，则tan(2 025π－α)等于( )
A.－12B.－32
C.－3D.－33
(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3csπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A.255B.277
C.31010D.13
答案精析
落实主干知识
1.(1)sin2α＋cs2α＝1 (2)sinαcsα＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z
2.－sin α －sin α sin α cs α cs α －cs α cs α －cs α sin α －sin α tan α －tan α
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.CD [sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
sin3π2−x＝－cs x，故B不成立；
csπ2＋x＝－sin x，故C成立；
cs(x－π)＝－cs x，故D成立.]
3.A [∵(sin α－cs α)2＝sin2α＋cs2α－2sin αcs α＝1－sin 2α＝2516，∴sin 2α＝－916.]
4.34
解析 由题意得cs α＝－45，故tan α＝sinαcsα＝34.
探究核心题型
例1 (1)C [因为sin θ＝－2cs θ，所以tan θ＝－2，
所以sin θ(sin θ＋cs θ)
＝sinθ(sinθ＋csθ)sin2θ＋cs2θ
＝tan2θ＋tanθtan2θ＋1＝4−24＋1＝25.]
(2)C [方法一 sin α＋cs α＝15，
则(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝125，
即sin αcs α＝－1225，
又因为α∈(0，π)，故sin α>0，cs α0，cs θ>0，
又因为tan θ＝sinθcsθ＝12，
则cs θ＝2sin θ，
且cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ
＝5sin2θ＝1，
解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，
所以sin θ－cs θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.
例2 (1)A [sin(π＋α)＝－sin α＝13，sin α＝－13，
sin(π－α)＋csπ2−α＝sin α＋sin α＝2sin α＝－23.]
(2)A [因为csπ4＋x＝13，
所以sin5π4−x
＝sinπ＋π4−x
＝－sinπ4−x
＝－sinπ2−π4＋x
＝－csπ4＋x＝－13.]
跟踪训练2 (1)C [因为α为锐角，且csα＋π6＝35，
所以α＋π6也是锐角，
所以sinα＋π6
＝1−cs2α＋π6
＝1−352＝45，
所以sin5π6−α
＝sinπ−α＋π6
＝sinα＋π6＝45.]
(2)－1
解析 原式
＝−tanα·csα·(−csα)cs(π＋α)·[−sin(π＋α)]
＝tanα·cs2α−csα·sinα＝－sinαcsα·csαsinα
＝－1.
例3 (1)C [因为sin(5π＋α)
＝5sin9π2＋α，
所以－sin α＝5cs α，
可得tan α＝sinαcsα＝－5，
所以原式＝sin2α＋sin2αsin2α＋cs2α
＝2sinαcsα＋sin2αsin2α＋cs2α＝2tanα＋tan2αtan2α＋1
＝2×(−5)＋(−5)2(−5)2＋1＝1526.]
(2)2π3
解析 由题意得
csα＝3sinβ,①−3sinα＝csβ,②
由①2＋3×②2得，
cs2α＋9sin2α＝3，
又cs2α＋sin2α＝1，
所以sin2α＝14，
又α∈0，π2，所以sin α＝12，
则α＝π6.
将α＝π6代入①，得sin β＝12，
因为β∈π2，π，
所以β＝5π6，则β－α＝2π3.
跟踪训练3 (1)D [因为sin(3π＋α)＝12，
所以sin α＝－12，又α∈π，3π2，
所以cs α＝－1−sin2α＝－32，tan α＝33，
所以tan(2 025π－α)＝tan(π－α)
＝－tan α＝－33.]
(2)C [由已知得
3sinβ−2tanα＋5＝0,tanα−6sinβ−1＝0,
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cs α，
代入sin2α＋cs2α＝1，
化简得sin2α＝910，
又α为锐角，∴sin α>0，
则sin α＝31010.]
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π2-α
π2+α
正弦
sin α
余弦
csα
正切
tan α
-tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限