新高考数学一轮复习考点学案第4章§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念（含答案解析）

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课标要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念
2.弧度制的定义及公式
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cs α，yx＝tan α(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝ ，cs α＝ ，tan α＝ (x≠0).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)第四象限的角一定是负角.( )
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( )
(4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.( )
2.角－863°的终边所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为( )
A.20 cmB.14 cm
C.10π cmD.8π cm
4.已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cs α的值为 .
1.熟记以下常用结论
(1)象限角
(2)轴线角
2.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
题型一 角及其表示
例1 (1)(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A.－α是第一象限角
B.α2是第三象限角
C.3π2＋α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上
θ2终边所在位置
若θ分别为第一、二、三、四象限角，则θ2的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示.
典例 已知θ为第三象限角，且sin θ2=-sin θ2，则角θ2的终边在( )
A.第一或第三象限B.第二或第四象限
C.第三象限D.第四象限
答案 D
解析 ∵θ为第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角，又sin θ2=-sin θ2，∴sin θ2≤0，∴角θ2的终边在第四象限.
(2)如图所示，终边落在阴影部分的角β的取值集合为 .
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在的位置.
跟踪训练1 (1)(多选)下列四个命题中正确的是( )
A.－3π4是第二象限角
B.4π3是第三象限角
C.－400°是第四象限角
D.－315°是第一象限角
(2)若角α的终边在直线y＝－3x上，则角α的取值集合为( )
A.{α|α＝k·360°－60°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°－120°，k∈Z}
D.{α|α＝k·180°－60°，k∈Z}
题型二 弧度制及其应用
例2 (1)(2024·青岛模拟)2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东曲阜孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”(图1)就是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm，若sin 37°≈35，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)的面积近似为( )
A.6.8 cm2B.9.8 cm2
C.14.8 cm2D.22.4 cm2
(2)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
①若α＝π3，R＝10 cm，则扇形的弧长l＝ cm.
②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α＝ 弧度时，扇形的面积最大.
思维升华 应用弧度制解决问题时应注意
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
跟踪训练2 (1)(2024·深圳模拟)若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为( )
A.1B.2
C.4D.6
(2)(2025·襄阳模拟)“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧AB的长等于半径OA长的2倍，则圆柱材料埋在墙壁内部的截面(阴影部分)面积是( )
A.9－92sin 2B.92sin 2
C.2－12sin 2D.9
题型三 三角函数的概念
例3 (1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cs α＝－45，则m的值为( )
A.－12B.－32
C.12D.32
(2)若角α满足sin α·cs α