新高考数学一轮复习讲义第6章 §6.4　数列中的构造问题　培优课（含解析）

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题型一 形如an＋1＝pan＋f(n)型
命题点1 an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)
例1 (2022·九江模拟)在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，求数列{an}的通项公式．
解 由an＋1＝3an－4，
可得an＋1－2＝3(an－2)，
所以eq \f(an＋1－2,an－2)＝3.
又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，
所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2.
命题点2 an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
例2 已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．
解 ∵an＋1＝2an－n＋1，
∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
∴eq \f(an＋1－n＋1,an－n)＝2，
∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an－n＝2·2n－1＝2n，
∴an＝2n＋n.
命题点3 an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
例3 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求数列{an}的通项公式．
解 方法一 原递推式可化为
an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．①
比较系数得λ＝－4，①式即是
an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．
则数列{an－4·3n－1}是首项为a1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列，
∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，
即an＝4·3n－1－5·2n－1.
方法二 将an＋1＝2an＋4·3n－1的两边同除以3n＋1，得eq \f(an＋1,3n＋1)＝eq \f(2,3)·eq \f(an,3n)＋eq \f(4,32)，
令bn＝eq \f(an,3n)，
则bn＋1＝eq \f(2,3)bn＋eq \f(4,9)，
设bn＋1＋k＝eq \f(2,3)(bn＋k)，比较系数得k＝－eq \f(4,3)，
则eq \f(bn＋1－\f(4,3),bn－\f(4,3))＝eq \f(2,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(4,3)))是以－eq \f(5,3)为首项，eq \f(2,3)为公比的等比数列．∴bn－eq \f(4,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－1，
则bn＝eq \f(4,3)－eq \f(5,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－1，
∴an＝3n·bn＝4·3n－1－5·2n－1.
思维升华 (1)形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．
(2)递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到eq \f(an＋1,γn＋1)＝eq \f(α,γ)·eq \f(an,γn)＋eq \f(β,γ)，转化为bn＋1＝kbn＋eq \f(β,γ)(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn－\f(β,γ1－k)))求解．
跟踪训练1 (1)(2022·武汉二中月考)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝－3×2n－1 B．an＝3×2n－1
C．an＝5n＋3×2n－1 D．an＝5n－3×2n－1
答案 D
解析 方法一 将递推公式
an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，
得eq \f(an＋1,5n＋1)＝eq \f(2,5)·eq \f(an,5n)＋eq \f(3,5)，①
令eq \f(an,5n)＝bn，则①式变为bn＋1＝eq \f(2,5)bn＋eq \f(3,5)，
即bn＋1－1＝eq \f(2,5)(bn－1)，
所以数列{bn－1}是首项为
b1－1＝eq \f(a1,5)－1＝－eq \f(3,5)，
公比为eq \f(2,5)的等比数列，
所以bn－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))n－1，
即bn＝1－eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))n－1＝1－eq \f(3×2n－1,5n)，
故an＝5n－3×2n－1.
方法二 设an＋1＋k×5n＋1＝2(an＋k×5n)，
则an＋1＝2an－3k×5n，
与题中递推公式比较得k＝－1，
即an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，
所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，
公比为2的等比数列，则an－5n＝－3×2n－1，
故an＝5n－3×2n－1.
(2)(2022·衡水质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
答案 an＝2n－1，n∈N*
解析 因为Sn＋1－2Sn＝1，
所以Sn＋1＝2Sn＋1.
因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，
因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，
所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，
所以an＝2n－1，n∈N*.
题型二 相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型)
例4 已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．
解 ∵an＝2an－1＋3an－2，
∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝7，
∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列，
则an＋an－1＝7×3n－2，①
又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，
a2－3a1＝－13，
∴{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列，
则an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2，②
①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1，
∴an＝eq \f(7,4)×3n－1＋eq \f(13,4)(－1)n－1.
思维升华 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
跟踪训练2 (1)数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＝2an＋1－an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__________．
答案 an＝10－2n(n∈N*)
解析 由题意知，an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以{an}为等差数列．
设公差为d，由题意得2＝8＋3d⇒d＝－2，
得an＝8－2(n－1)＝10－2n.
(2)在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________.
答案 2n－1
解析 由题意知，an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∵a2－a1＝2，∴{an－an－1}是首项为2，公比为2的等比数列，an－an－1＝2n－1(n≥2)，
当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.
显然n＝1时满足上式，
∴an＝2n－1.
题型三 倒数为特殊数列eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(形如an＋1＝\f(pan,ran＋s)型))
例5 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，则an＝________.
答案 eq \f(2,n＋1)
解析 ∵an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，a1＝1，
∴an≠0，∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，
即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)，
又a1＝1，则eq \f(1,a1)＝1，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列．
∴eq \f(1,an)＝1＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n,2)＋eq \f(1,2)，
∴an＝eq \f(2,n＋1)(n∈N*)．
(2)已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq \f(an,an＋3)(n∈N*)，则an＝________.
答案 eq \f(2,2×3n－1－1)
解析 ∵eq \f(1,an＋1)＝3·eq \f(1,an)＋1，
∴eq \f(1,an＋1)＋eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋\f(1,2)))，eq \f(1,a1)＋eq \f(1,2)＝1，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋\f(1,2)))是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)＝3n－1，
∴eq \f(1,an)＝3n－1－eq \f(1,2)，
∴an＝eq \f(2,2×3n－1－1)(n∈N*)．
思维升华 两边同时取倒数转化为eq \f(1,an＋1)＝eq \f(s,p)·eq \f(1,an)＋eq \f(r,p)的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出eq \f(1,an)的表达式，再求an.
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝eq \f(x,3x＋1)，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．
答案 an＝eq \f(1,3n－2)(n∈N*)
解析 由已知得，an＋1＝eq \f(an,3an＋1)，
∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋3，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝3，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝1，公差为d＝3的等差数列，
∴eq \f(1,an)＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
故an＝eq \f(1,3n－2)(n∈N*)．
(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(an,2nan＋1)，则an＝__________.
答案 eq \f(1,n2－n＋1)
解析 对递推关系两边取倒数，
得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2nan＋1,an)＝eq \f(1,an)＋2n.
即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝2n，
分别用1,2,3，…，n－1替换n，有
eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝2×1，
eq \f(1,a3)－eq \f(1,a2)＝2×2，
eq \f(1,a4)－eq \f(1,a3)＝2×3，…，
eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝2(n－1)，
以上n－1个式子相加，
得eq \f(1,an)－eq \f(1,a1)＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
所以eq \f(1,an)＝n2－n＋1.
所以an＝eq \f(1,n2－n＋1).
课时精练
1．数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列第5项是( )
A．15 B．255
C．16 D．63
答案 B
解析 ∵an＝4an－1＋3(n≥2)，
∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，
∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，
则an＋1＝4n－1.
∴an＝4n－1－1，
∴a5＝44－1＝255.
2．(2022·许昌模拟)数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝4an＋6(n∈N*)，令bn＝lg2(an＋2)，则eq \f(b1＋b2＋…＋b2 022,2 022)等于( )
A．2 020 B．2 021
C．2 022 D．2 023
答案 D
解析 ∵an＋1＝4an＋6(n∈N*)，
∴an＋1＋2＝4an＋6＋2＝4(an＋2)>0，
即eq \f(an＋1＋2,an＋2)＝4且a1＝2，
∴数列{an＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列，
故an＋2＝4n，
由bn＝lg2(an＋2)得，
bn＝lg24n＝2n，
设数列{bn}的前n项和为Sn，
则S2 022＝2(1＋2＋3＋…＋2 021＋2 022)
＝2 022×2 023，
∴eq \f(b1＋b2＋…＋b2 022,2 022)＝eq \f(2 022×2 023,2 022)＝2 023.
3．(2022·厦门模拟)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于( )
A．47 B．48
C．49 D．410
答案 C
解析 由题意得a1＋a2＝4，
由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，
得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，
即eq \f(an＋an－1,an－1＋an－2)＝4(n≥3)，
所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，
所以a9＋a10＝49.
4．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于( )
A．64 B．56
C．32 D．24
答案 C
解析 由an＋1＝2an＋2n得eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)，
而eq \f(a1,2)＝eq \f(1,2)，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列，
∴eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n,2)，
∴an＝n·2n－1，∴a4＝4×24－1＝32.
5．(2022·德州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋2)(n∈N*)．若bn＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))，则数列{bn}的通项公式bn等于( )
A.eq \f(1,2)n B．n－1
C．n D．2n
答案 C
解析 由an＋1＝eq \f(an,an＋2)，
得eq \f(1,an＋1)＝1＋eq \f(2,an)，
所以eq \f(1,an＋1)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))，
又eq \f(1,a1)＋1＝2，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))是首项为2，公比为2的等比数列，
所以eq \f(1,an)＋1＝2·2n－1＝2n，
所以bn＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))＝lg22n＝n.
6．已知数列{an}满足3an－2an－1＝an＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝2 022，则a2等于( )
A.eq \f(2 022,31) B.eq \f(2 022,33)
C.eq \f(2 022,63) D.eq \f(2 022,65)
答案 A
解析 由3an－2an－1＝an＋1(n≥2，n∈N*)，
可得2(an－an－1)＝an＋1－an，
若an－an－1＝0，
则a6＝a5＝…＝a1，与题中条件矛盾，
故an－an－1≠0，
所以eq \f(an＋1－an,an－an－1)＝2，
即数列{an＋1－an}是以a2－a1为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1－an＝a2·2n－1，
所以a6－a1＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋a5－a4＋a6－a5＝a2·20＋a2·21＋a2·22＋a2·23＋a2·24＝31a2＝2 022，
所以a2＝eq \f(2 022,31).
7．(多选)已知数列{an}满足a1＝1,4an＋1＝3an－n＋4，则下列结论正确的是( )
A．a3＝eq \f(13,8)
B．a3＝eq \f(29,8)
C．{an＋n－8}是等比数列
D．{an＋2}不可能是等比数列
答案 ACD
解析 ∵a1＝1,4an＋1＝3an－n＋4，
∴a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(13,8)，故A正确，B错误；
∵4an＋1＝3an－n＋4，
∴an＋1＝eq \f(3,4)an－eq \f(1,4)n＋1，
∴an＋1＋(n＋1)－8
＝eq \f(3,4)an－eq \f(1,4)n＋1＋(n＋1)－8
＝eq \f(3,4)an＋eq \f(3,4)n－6
＝eq \f(3,4)(an＋n－8)，
又∵a1＋1－8＝－6，
∴数列{an＋n－8}是首项为－6，公比为eq \f(3,4)的等比数列，故C正确；
∵a1＋2＝3，a2＋2＝eq \f(7,2)，a3＋2＝eq \f(29,8)，
显然(a2＋2)2≠(a1＋2)(a3＋2)，
∴{an＋2}不可能是等比数列，故D正确．
8．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(an,2＋3an)(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋3))为等比数列
B．{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2n－1－3)
C．{an}为递增数列
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4
答案 AD
解析 因为an＋1＝eq \f(an,2＋3an)，
所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2＋3an,an)＝eq \f(2,an)＋3，
所以eq \f(1,an＋1)＋3＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋3))，
且eq \f(1,a1)＋3＝4≠0，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋3))是以4为首项，2为公比的等比数列，即eq \f(1,an)＋3＝4×2n－1，
所以eq \f(1,an)＝2n＋1－3，
可得an＝eq \f(1,2n＋1－3)，
故选项A正确，选项B不正确；
因为eq \f(1,an)＝2n＋1－3单调递增，
所以an＝eq \f(1,2n＋1－3)单调递减，
即{an}为递减数列，故选项C不正确；
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n
＝22×eq \f(1－2n,1－2)－3n＝2n＋2－3n－4.
故选项D正确．
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，则a5＝________.
答案 405
解析 ∵an＋1＝3an＋3n，
∴eq \f(an＋1,3n＋1)－eq \f(an,3n)＝eq \f(1,3)，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,3n)))是等差数列，公差为eq \f(1,3)，
又eq \f(a1,3)＝eq \f(1,3)，
∴eq \f(an,3n)＝eq \f(1,3)＋(n－1)×eq \f(1,3)＝eq \f(n,3)，
∴an＝n·3n－1，a5＝5×34＝405.
10．已知数列{an}满足a1＝eq \f(3,2)，an＋1＝eq \f(3an,an＋3)，若cn＝eq \f(3n,an)，则cn＝____________.
答案 (n＋1)3n－1
解析 因为a1＝eq \f(3,2)，an＋1＝eq \f(3an,an＋3)，
所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋3,3an)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,an)，
即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,3)，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝eq \f(2,3)，公差为eq \f(1,3)的等差数列，
所以eq \f(1,an)＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)(n－1)＝eq \f(n＋1,3)，
则cn＝eq \f(3n,an)＝(n＋1)3n－1.
11．已知首项为1的数列{an}各项均为正数，且naeq \\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq \\al(2,n)＝anan＋1，则an＝________.
答案 n
解析 因为naeq \\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq \\al(2,n)＝anan＋1，
所以n(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an(an＋1＋an)，
因为数列{an}各项均为正数，
所以an＋1＋an>0，
所以n(an＋1－an)＝an，
所以eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))为常数列，
由a1＝1，所以eq \f(an,n)＝eq \f(a1,1)＝1，
所以an＝n.
12．已知数列{an}满足递推公式an＋1＝2an＋1，a1＝1.设Sn为数列{an}的前n项和，则an＝______，eq \f(4n＋7－n－Sn,an＋1)的最小值是________．
答案 2n－1 eq \f(17,4)
解析 因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，
所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1；
所以Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝eq \f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－2－n，
所以eq \f(4n＋7－n－Sn,an＋1)＝eq \f(4n＋7－n－2n＋1－2－n,2n)
＝2n＋eq \f(9,2n)－2，
由对勾函数的性质可得，
当n＝1时，21＝2,21＋eq \f(9,21)－2＝2＋eq \f(9,2)－2＝eq \f(9,2)；
当n≥2时，2n≥4，
所以y＝2n＋eq \f(9,2n)－2单调递增，
当n＝2时，22＋eq \f(9,22)－2＝4＋eq \f(9,4)－2＝eq \f(17,4)所以eq \f(4n＋7－n－Sn,an＋1)的最小值是eq \f(17,4).