新高考数学一轮复习考点学案第3章§3.4导数与函数的极值（含答案解析）

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1.函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f '(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
2.函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f '(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
3.极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.( )
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.( )
(3)单调函数没有极值.( )
(4)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.( )
2.如图是f(x)的导函数f '(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
3.函数f(x)＝x3－12x2－14x的极小值点为 ，极大值为 .
4.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是___________________________.
解题时灵活应用以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x＝x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)f '(x0)＝0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件.例如，f(x)＝x3，f '(0)＝0，但0不是极值点.
题型一 根据函数图象判断极值
例1 (多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f '(x)，且函数g(x)＝xf '(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(－1)为f(x)的极小值
思维升华 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f '(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f '(x)的图象可以看出y＝f '(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
跟踪训练1 已知定义在(0，3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式f '(x)0
2.f '(x)>0 f '(x)0，
可得f '(x)0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；
f(0)为f(x)的极大值，B正确；
f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.]
跟踪训练1 B [观察图象可得函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，在区间(2，3]上单调递增，则1为函数f(x)的极大值点，2为函数f(x)的极小值点，
所以当x∈(1，2)时，f'(x)－1).
①当m≤0时，f '(x)>0，
则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)无极值.
②当m>0时，由f '(x)>0，
得－10，
则x0；
令g'(x)0，
当x→＋∞时，g(x)→0，
当x→0时，g(x)→－∞，
所以00，f(x)单调递增，
当x0，
所以f(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，
则f(x)在x＝1e处取得极小值，不存在极大值，不符合题意；
当a0，
当x>1e时，f '(x)