初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.2 函数的表示第3课时教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）22.2 函数的表示第3课时教案设计，共6页。教案主要包含了师生活动，设计意图，思维导图参考等内容，欢迎下载使用。
1．理解函数的三种表示方法的各自优点，能用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系，并对变量的变化情况进行初步讨论．
2．能根据具体实际问题，选择合适的函数表示方法，发展模型观念，增强应用意识．
教学重点
理解并运用函数的三种表示方法．
教学难点
根据具体实际问题，选择合适的函数表示方法．
教学过程
新课导入
【问题】我们学习了函数，了解了可以用不同的方法表示函数．说一说，表示函数的方法有哪几种？
【师生活动】学生结合已有知识进行回答：函数可以通过写出解析式、列表格或画图象来表示．教师进行小结：这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法．
【追问】既然有三种表示方法，是不是在任何情况下，我们都可以随意选择其中一种来表示函数关系呢？
【师生活动】教师引导学生回顾上节课“气温随时间变化”的实际例子，学生通过思考发现：气温T和时间t之间的函数关系，很难用一个准确的数学解析式表达出来．由此引发学生对三种方法在不同情境中的适用性进行初步思考．
【设计意图】通过复习函数的三种表示方法，并结合“气温随时间变化”这一难以用解析式刻画的现实案例，引导学生体会不同表示方法的特点与局限，为接下来系统比较三种方法的特点作铺垫．
新知探究
【问题1】从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么特点？
【师生活动】学生组内讨论交流，小组代表发言，教师总结完善．
【注意】三种函数的表示方法各有优点，在研究函数时，要根据具体问题，选择合适的方法．在实际解决问题时，为了全面分析函数关系，有时候需要综合使用多种方法．
【设计意图】通过归纳和梳理，帮助学生明确三种方法各自的特点，为后续灵活运用打下基础．
例题精讲
【例】一个水库的水位在最近5 h内持续上涨．下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
（2）水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
（3）如果这种上涨规律还会持续2 h，那么2 h后水位高度将为多少米？
【师生活动】对于第（1）题，教师首先引导学生关注表格中的数据，发现规律，即相邻的两个y的值的差都是0.3，说明每小时水位上升0.3 m．接着请学生在平面直角坐标系中描出表格中的点，强调作图的准确性．作出图象后，学生容易发现这些点都在一条直线上，结合表格中的数据，猜想在这5 h内，水位可能是始终以同一速度均匀上升的． ．
对于第（2）题，教师可让学生结合图象以及函数的定义进行判断，确认y是t的函数．再联系初始水位3 m和每小时上涨0.3 m，引导学生推导出函数解析式，并提醒学生注意自变量的取值范围．
对于第（3）题，教师强调这里的预测是建立在未来2 h水位上升规律不变的假设之上的，故2 h后，可以把t＝7代入（2）中得到的解析式进行计算，求出水位高度，让学生体会函数模型在预测实际问题中的应用价值．
【答案】解：（1） 如图，描出表中数据对应的点．可以看出，这6个点在一条直线上．再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3 m．
由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻（如t＝2.5 h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．
（2）由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数．
开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3 m．函数y＝0.3t＋3 (0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过t h水位高度y为(0.3t＋3) m．其图象是下图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB．
如果在这5 h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h，那么函数y＝0.3t＋3 (0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律．即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律．
（3）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，即t＝5＋2＝7（h）时，水位高度y＝0.3×7＋3＝5.1（m）．
如图，把图中的函数图象（线段AB）向右延伸到t＝7所对应的位置，从图象也能看出这时的水位高度约为5.1 m．
【归纳】对于具体的函数问题，要根据情况选择适当的方法表示其中的函数关系，有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示方法．函数的不同表示方法之间可以相互转化．
【设计意图】通过实际问题，引导学生综合运用列表法、图象法和解析法建立解决具体问题的函数模型，一方面让学生体会到三种表示法各有优势且可以相互转化，另一方面让学生认识到函数是解决现实问题的重要数学模型．
课堂练习
1．用列表法与解析法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数．
【师生活动】教师提醒学生注意n的取值范围，学生独立思考，尝试在学习任务单上完成列表，写出解析式．教师讲评．
【答案】解：列表如下．
解析式为m＝180(n－2)（n≥3且n为整数）．
2．用解析法与图象法表示等边三角形的周长C关于边长a的函数．
【师生活动】学生独立思考，尝试在学习任务单上写出解析式，画出图象，教师强调注意自变量的取值范围．
【答案】解：解析式为C＝3a(a＞0)．
图象如下．
3．一条小船沿直线向码头匀速前进．在0 min，2 min，4 min，6 min 时，测得小船与码头的距离分别为200 m，150 m，100 m，50 m．小船与码头的距离s（单位：m）是时间t（单位：min）的函数吗？如果是，写出函数解析式，画出函数图象，并计算小船到达码头用了多长时间．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师讲评．
【答案】解：小船与码头的距离s是时间t的函数．
由题意，得小船的船速是25 m/min．
函数解析式为s＝－25t＋200（0≤t≤8）．
图象如图所示．
当s＝0 时，t＝8，
即小船到达码头用了8 min．
【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固对函数的三种表示方法的理解和应用，强化对自变量取值范围的认知，渗透数形结合思想，提升用函数解决实际问题的能力．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．函数有哪些表示方法？
2．对于不同的情境，如何选择合适的函数表示方法？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
教材第108～109页习题22.2第5，6，7，8题．