初中数学第二十二章 函数22.2 函数的表示第3课时教案

这是一份初中数学第二十二章 函数22.2 函数的表示第3课时教案，共3页。教案主要包含了函数的三种表示方法，用适当的方法表示函数等内容，欢迎下载使用。

《22.2 函数的表示（第3课时）》教学设计
课型
新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本课是人教版八下《函数》这一章的方法整合课，系统梳理了解析法、列表法、图象法三种函数表示方法，是对前几课时函数知识的归纳与升华．它承接了解析式列写、图象绘制与解读的学习，通过水库水位变化实例，引导学生实现三种表示法的相互转化，帮助学生构建完整的函数表示体系．本节课的学习，不仅能让学生理解不同表示法的优势与适用场景，更能深化数形结合思想，为后续一次函数、反比例函数的系统学习奠定方法基础，是学生从单一表示到多元理解函数的关键节点．
学习者分析
学生已分别学习了解析法、列表法、图象法，但尚未形成系统认知，对三种方法的内在联系缺乏理解．他们能单独使用某一种方法表示函数，但难以根据实际情境灵活选择合适的方法，也不擅长进行三种表示法之间的转化．学生对不同表示法的优缺点认识模糊，容易忽略表格数据背后的规律，或无法将图象信息转化为解析式，需要通过典型实例的引导，帮助他们建立方法间的联系，形成多元表示的思维．
教学目标
1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法．
2．理解三种方法的优缺点，能根据情境选择合适表示法．
3．能进行三种表示方法之间的简单转化．
教学重点
掌握函数的三种表示方法，理解它们的优缺点，能根据实际情境选择合适的表示法．
教学难点
实现函数三种表示方法之间的相互转化，理解不同表示法的内在联系．
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：学习目标
教师活动1：
师出示学习目标：
1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法．
2．理解三种方法的优缺点，能根据情境选择合适表示法．
3．能进行三种表示方法之间的简单转化．
学生活动1：
学生齐声读本课的学习目标
活动意图说明：
明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．
环节二：新知导入
教师活动2：
问题：如图，要做一个面积为 12 m2 的小矩形花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围．
解：y是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0．
（1）你能求出这个问题的函数解析式吗？
解：该花坛的另一边长为12xm ．这个问题的函数解析式是 y＝2(x+12x) ．
（2）当 x 的值分别为 1，2，4，6，8，10，12 时，请列表表示变量之间的对应关系．
x/m
1
2
4
6
8
10
12
y/m
答案：26，16，14，16，19，22.4，26
（3）能画出函数的图象吗？
解：描点，连线．
函数的图象如图所示．
学生活动2：
学生积极回答老师提出的问题
活动意图说明：
通过矩形花坛的实际问题，引导学生回顾函数定义、列写解析式、列表、画图，实现三种函数表示法的自然过渡，为新知学习搭建桥梁．
环节三：新知讲解
教师活动3：
讲解：由上面的内容可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数．这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法．
注意：并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来．例如，气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而不能用解析式法表示．
思考：从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？
预设：
解析法：
优点：简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系．
缺点：求出对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来．
列表法：
优点：一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值．
缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系．
图象法：
优点：能直观形象地表示函数关系．
缺点：观察图象只能得到近似的数值．
归纳：函数三种表示方法的选用技巧
（1）解析法：需要明显表现自变量与函数的对应规律时选用解析式法．
（2）列表法：需要直接用部分函数值表达函数关系时选用列表法．
（3）图象法：需要明显表现函数变化趋势时选用图象法．
指出：对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系．有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法．
例：一个水库的水位在最近5h内持续上涨．下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．
t/h
0
1
2
3
4
5
y/m
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
（2）水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
（3）如果这种上涨规律还会持续2h，那么2h后水位高度将为多少米？
解：（1）如图所示，描出表数据对应的点．可以看出，这6个点在一条直线上．再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3m．由此猜想，如果画出这5h内其他时刻（如t＝2.5h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．
（2）由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数．开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m．函数
y＝0.3t＋3（0≤t≤5）
是符合表中数据的一个函数，它表示经过th水位高度y为（0.3t＋3）m．其图象是如图2所示中点A（0，3）和点B（5，4．5）之间的线段AB．
如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y＝0.3t＋3（0≤t≤5）就精确地表示了这种变化规律．即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律．
（3）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2h，即t＝5＋2＝7（h）时，水位高度
y＝0.3×7＋3＝5.1（m）．
把下图中的函数图象（线段AB）向右延伸到t＝7所对应的位置，如图所示，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m．
指出：由例题可以看出，有些函数的不同表示法之间可以转化．
学生活动3：
学生小组合作探究，班内交流后认真听老师的点评和讲解
活动意图说明：
以回顾三种函数表示法为切入点，引导学生辨析各方法优缺点，建立多元表示的系统认知；例题通过水库水位变化实例，让学生在列表、列式、画图的过程中，掌握三种表示法的转化方法，深化数形结合思想．
环节四：课堂小结
教师活动4：
问题：本节课你都学习到了哪些知识？
教师通过学生的回答，进行归纳
学生活动4：
学生积极回顾本节课学习到的知识
活动意图说明：
通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计
课题：22.2函数的表示（第3课时）
一、函数的三种表示方法
二、用适当的方法表示函数
教师板演区
学生展示区
课堂练习
【知识技能类练习】
必做题：
1．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位hcm与时间tmin的实验数据如下表：
数据记录
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
……
tmin
0
2
4
6
8
……
hcm
2
2.8
3.6
4.2
5.2
……
下列说法错误的是（ ）
A．在实验开始时，漏刻水位是2cm
B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是4.4cm
C．第7次数据记录时，漏刻水位应为6.8cm
D．当漏刻水位为10cm时，对应实验的时间是10min
答案：D
2．一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）之间的关系式是_____．
燃烧时间x（时）
0
1
2
3
剩余的高度y（厘米）
20
17
14
11
答案：y=20−3x
3．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度ycm随所挂物体的质量xkg变化关系的图象如下：
(1)上图反映哪两个变量之间的关系？
(2)根据上图，补全表格：
xkg
0
1
2
5
7
ycm
12
16
(3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？
解：（1）反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg的变化关系；
（2）根据上图，补全表格：
xkg
0
1
2
4
5
7
ycm
8
10
12
16
18
18
（3）由图象得：
当所挂物体的质量不超过5kg时，所挂物体的质量xkg每增加1kg，弹簧的长度增加2cm；
当所挂物体的质量超过5kg时，弹簧的长度为18kg，不随所挂物体的质量xkg的变化而变化．
选做题：
4．下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．y=2x+1
C．D．
答案：C
【综合拓展类练习】
5．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内0−120mg/kg，其保质期dB与浓度c之间近似满足稳定的线性增长关系：dB=0.05c+3．在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度c（单位：mgkg），测得面包的保质期dA（单位：天）数据如下：
添加剂浓度cmgkg
0
20
40
60
80
100
120
保质期dA（天）
3
4
7
10
9
7
4
(1)以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出dA，dB的图象；
(2)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂________（A或B）．
②当添加剂浓度相同时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多2天，则浓度c的取值范围是________．
(3)工厂分析发现，1kg面包，每增加10mg添加剂，成本增加0.5元；若面包从生产到售出的时间为7天，当保质期不足7天时，每减少1天会造成1元的损失．当添加剂A浓度为20mg/kg时，1kg面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为________元．
解：（1）dA，dB的图象如图．
令x=0，则dB=3，令x=20，则dB=0.05×20+3=4，则dB=0.05c+3过0,3,20,4，画图如下：
（2）①对添加剂A：根据图象可得dA​在c=60时，dA=10，即可达到dA≥8；
对添加剂B：令0.05c+3≥8，解得c≥100，
因此A满足要求的浓度更低，选添加剂A．
②根据题意dA−dB≥2，
当c=40时，dA−dB=7−0.05×40+3=2，
当c=80时，dA−dB=9−0.05×80+3=2，
根据图象可得，当40≤c≤80时，dA−dB≥2，
因此c的范围是40≤c≤80．
（3）根据题意可得：额外成本=添加剂成本+损失，
添加剂成本：浓度20mg/kg，每10mg增加0.5元，
因此成本为2010×0.5=1元；
损失：当添加剂A浓度为20mg/kg时，保质期dA=4天，
比要求的7天少7−4=3天，损失3×1=3元；
总额外成本：1+3=4元．
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（ ）
供水时间x（h）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（cm）
6
18
30
42
54
A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加
B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为y=6x+6
C．当x=7，y=48
D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加12cm
答案：D
2．某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量x（单位：m3）和造雪天数y（单位：天）的关系______．
每天造雪量/m3
5000
5200
6500
…
造雪天数
52
50
40
…
答案：y=260000x
3．我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以60km/h的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式．
(1)用表格表示：
时间/h
0.5
1
1.5
2
2.5
3
路程/km
30
60
90
120
150
180
利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为2h时，行驶的路程为______km
(2)用关系式表示：
设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则s=______．
利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当s=240km时，所需时间t=______h．
(3)用图象表示：
为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题：
①当t=2.5h时，s=_____km．
②图中点A表示的意义是什么？

(4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点．
解：（1）由表可得：当汽车行驶的时间为2h时，行驶的路程120km；
故答案为：120；
（2）根据题意可得：s=60t，
当 s=240km，把s=240代入s=60t得：240=60t，
解得：t=4，
故答案为：60t,4；
（3）由图可知：当t=2.5h时，s=150km，
点A表示的意义为：行驶时间1.5h时，行驶路程为90km．
故答案为：150，行驶时间1.5h时，行驶路程为90km．，
（4）用表格表示，可以鲜明的呈现出自变量和因变量之间的数量对应关系，但只能累出部分数据，难以反应全部变化；
用关系式表示，简明扼要，方便计算，但不够形象，且有的函数变化难以用关系式表示；
用图象表示，形象直观，能清晰呈现函数增减变化，但只能作出近似图象，往往不够准确．
选做题：
4．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（ ）
①表达式y=x中，y是x的函数；
②等边三角形的周长C是边长a的函数；
③下表中，b是a的函数；
a
−3
−2
−1
1
2
3
b
−2
−3
−6
6
3
2
④下图中，曲线表示y是x的函数
A．①②B．②④C．①②③D．①②③④
答案：C
【综合拓展类作业】
5．鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了25°C恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为y1．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为y2，部分数据如下：
x/天
0
7
14
21
28
y1
0.45
0.35
0.26
0.18
0.13
y2
0.45
0.33
0.28
0.26
0.15
通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系xOy中．画出了函数y1，y2的图象．
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
(1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数；
(2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；
(3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）．
解：（1）由图可知当第11天之后，y2>y1，
（2）由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性；
（3）由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为0.26−0.18=0.08
教学反思
本节课通过水库水位实例引导学生整合三种表示方法，多数学生能掌握各方法的基本形式，但部分学生在方法转化时存在困难，难以从表格数据中提炼解析式，也无法将解析式转化为完整图象．后续教学中，可增加方法转化的专项练习，引导学生对比分析不同表示法的优势，强化数形结合意识，帮助学生灵活运用多种方法解决函数问题．