数学八年级下册（2024）22.2 函数的表示第1课时教案

这是一份数学八年级下册（2024）22.2 函数的表示第1课时教案，共44页。教案主要包含了函数图象的概念，用描点法画函数图象等内容，欢迎下载使用。

第四课时《22.2 函数的表示（第1课时）》教学设计
课型
新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本课是人教版八下第22章《函数》的核心方法课，是实现函数“数”与“形”转化的关键节点．它承接函数解析式的学习，通过列表、描点、连线的步骤，引导学生将抽象的代数关系转化为直观的几何图象，是数形结合思想的首次系统渗透．本节课的学习，不仅为后续一次函数、反比例函数的图象与性质研究奠定操作基础，更帮助学生建立“解析式—表格—图象”三者间的联系，形成完整的函数表示体系，为利用图象解决实际问题、分析函数变化趋势提供工具支撑，是学生从代数思维向几何直观拓展的重要桥梁．
学习者分析
学生已掌握平面直角坐标系的基础知识，能进行简单的点的坐标描点操作，也理解了函数的解析式表示方法，但对“将解析式转化为图象”的过程缺乏经验．他们习惯了用代数方法解决问题，对图象的直观性认识不足，容易忽略列表时自变量取值的代表性，或在描点、连线时出现不规范操作．学生的数形结合意识薄弱，难以将图象的升降趋势与函数的变化规律建立联系，需要通过规范步骤的引导和反复练习，逐步建立数与形的对应关系．
教学目标
1．理解函数图象的定义，掌握列表、描点、连线的画图步骤．
2．会画简单函数的图象，能从图象中读取基本信息．
3．体会数形结合思想，建立解析式与图象的联系．
教学重点
理解函数图象的定义，掌握列表、描点、连线的画图步骤，能规范画出简单函数的图象．
教学难点
体会数形结合思想，建立函数解析式与图象的对应关系，能从图象中读取函数的变化趋势等信息．
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：学习目标
教师活动1：
师出示学习目标：
1．理解函数图象的定义，掌握列表、描点、连线的画图步骤．
2．会画简单函数的图象，能从图象中读取基本信息．
3．体会数形结合思想，建立解析式与图象的联系．
学生活动1：
学生齐声读本课的学习目标
活动意图说明：
明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．
环节二：新知导入
教师活动2：
导言：用解析式可以表示函数与自变量之间的关系，例如路程与时间的关系；用图和表格也可以表示函数与自变量之间的关系，例如潮水高度与时间的关系、年利率与存款期限的关系．表示函数时，要根据具体情况选择合适的方法．
有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观地反映．对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．
学生活动2：
学生认真听老师讲解
活动意图说明：
通过回顾解析式、表格、图象三种函数表示方法，自然引出函数图象的学习，让学生体会图象的直观优势，激发探究兴趣
环节三：新知讲解
教师活动3：
讲解：正方形的面积S与边长x的函数解析式为S＝x2．根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0．我们还可以通过在平面直角坐标系中画图的方法来表示S与x的关系．
思考：（1）怎样获得组成图形的点？
预设：先确定点的坐标．
（2）怎样确定满足函数关系的点的坐标？
预设：取一些自变量的值，计算出相应的函数值．
（3）计算并填写表
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
S
…
…
预设：0.25，1，2.25，4，6.25，9，12.25，16
（4）自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一个点（x，S）呢？
预设：是
如图所示，在平面直角坐标系中，画出表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线依次连接这些点．所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如，点（2，4）表示当x＝2时，S＝4．
指出：表示x与S的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置．
归纳：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
如：下图中的曲线即函数S＝x2（x＞0）的图象．
例1：在下列式子中，y是x的函数．画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系．
（1）y＝x＋0.5；（2）y＝3x（x＞0）．
解：（1）从式子y＝x＋0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表中空格）．
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
－0.5
0.5
…
（答案：－1.5，1.5，2.5）
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点（如图所示）．
从函数y＝x＋0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y随之增大．
（2）y＝3x（x＞0）中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表中空格）．
x
…
0.5
1
2
3
4
5
6
…
y
…
3
1.5
1
0.75
…
（答案：6，0.6，0.5）
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点（如图所示）．
从函数y＝3x（x＞0）的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小．
归纳：用描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步，列表———表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点———在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线———按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
学生活动3：
学生独立思考，小组合作探究作图，然后班内交流并认真听老师的点评和讲解
活动意图说明：
以回顾函数三种表示法为切入点，引出图象法的直观优势，引导学生理解函数图象定义与描点法步骤，搭建数与形的桥梁；例题通过画不同类型函数图象，巩固操作流程，帮助学生从图象中读取信息，体会数形结合思想
环节四：课堂小结
教师活动4：
问题：本节课你都学习到了哪些知识？
教师通过学生的回答，进行归纳
学生活动4：
学生积极回顾本节课学习到的知识
活动意图说明：
通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计
课题：22.2函数的表示（第1课时）
一、函数图象的概念
二、用描点法画函数图象
1．列表
2．描点
3．连线
教师板演区
学生展示区
课堂练习
【知识技能类练习】
必做题：
1．小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（ ）
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
3
1
−1
−2
−5
…
A．(−2,3)B．(−1,1)C．(1,−2)D．(2,−5)
答案：C
2．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的______．
答案：图象
3．画出函数y=x+1的图象．
解：列表：
x
−2
−1
0
1
2
y
−1
0
1
2
3
描点、连线，得到一条过0,1和−1,0的直线．
选做题：
4．如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：cm)．在铁块被提起过程中选取5组数对x,y在直角坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【综合拓展类练习】
5．请根据函数相关知识，对函数y=2x−3−1的图像与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
x
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
…
5
m
1
−1
1
3
n
7
…
(1)表格中：m= ，n= ．
(2)在直角坐标系中画出该函数图象．
(3)观察图象：
①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ；
②观察函数y=2x−3−1的图像，写出该图像的一条性质．
解：（1）当x=1时，y=21−3−1=3；当x=6时，y=26−3−1=5，
∴m=3，n=5；
（2）如图函数图像即为所求作：
（3）①根据函数图像可得，函数的最小值是−1；
②观察函数的图像，该图像的性质有：关于x=3对称，即对称轴为x=3；当x3时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）．
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（ ）
x
−1
0
1
2
y
3
2
−2
−6
A．−1,3B．0,2C．1,−2D．2,−6
答案：A
2．写出一个在函数y=x2−1x图象上的点的坐标______．
答案：1，0
3．画函数y=−12x2的图象．
解：列表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-8
-92
-2
-12
0
-12
-2
-92
-8
…
描点、连线如下图所示：
选做题：
4．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【综合拓展类作业】
5．要做一个面积为12m2的长方形小花坛，该花坛的一边长为xm，另一边长为ym．
(1)求y与x之间的函数表达式x>0；
(2)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）；
(3)请画出函数的图象．
解：（1）y与x之间的函数表达式是y=12xx>0；
（2）当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，函数y的值如下：
xm
1
2
3
4
5
6
ym
12
6
4
3
2.4
2
（3）函数的图象如下：
教学反思
本节课通过分步教学引导学生掌握了画函数图象的步骤，多数学生能完成基本的列表、描点、连线操作，但部分学生在自变量取值选择上缺乏代表性，导致图象不够完整．后续教学中，可增加对比练习，让学生体会不同取值对图象的影响；同时，可加强图象信息解读的训练，引导学生主动将图象与解析式联系起来，深化对数形结合思想的理解．