人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用第2课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）20.2 勾股定理的逆定理及其应用第2课时教学设计，共10页。教案主要包含了知识回顾，设计意图，师生活动，追问 2，思维导图参考等内容，欢迎下载使用。
1．进一步巩固勾股定理及其逆定理的相关知识，能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题与几何综合问题，提升运算能力，增强应用意识．
2．经历将实际问题和几何图形抽象为直角三角形数学模型的过程，体会转化思想，培养模型意识，提升分析和解决问题的能力．
教学重点
勾股定理及其逆定理的综合应用．
教学难点
勾股定理及其逆定理的综合应用．
教学过程
新课导入
【知识回顾】我们学习了勾股定理及其逆定理，请用文字语言表述这两个定理．
勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
【引导语】勾股定理描述了直角三角形三条边长之间的关系，在直角三角形中，已知两边长，可以计算第三条边的长度；而根据逆定理，能通过判断两条边长的平方和是否等于第三条边长的平方，判定一个三角形是不是直角三角形，它们是解决直角三角形相关问题的重要工具．今天，我们就一起来感受这两个定理的广泛应用．
【设计意图】通过知识回顾，帮助学生区分并掌握勾股定理及其逆定理的核心内容，明确本节课的探究方向，为新知学习做好衔接．
新知探究
【问题1】如图，港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
【师生活动】教师首先引导学生梳理题干关键条件：两艘轮船的速度、航行时间、相距的距离以及“远航”号的航向．再通过以下问题，带领学生逐步分析，最终通过勾股定理的逆定理解决问题．
【追问1】怎样确定“海天”号的航向？
【师生活动】学生观察图形后发现：由于“远航”号的航向是已知的，只要求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向．
【追问2】如何将航海问题转化为数学问题？想一想，图中的哪些条件是已知的？要求什么？
【师生活动】学生组内讨论，明确可以构造△PQR，其中，P是港口，Q为“远航”号离开港口1.5 h后的位置，R为“海天”号离开港口1.5 h后的位置，PQ为两艘轮船离开港口1.5 h后的距离．根据条件，可以得出△PQR 三边的长度，∠1也是已知的，即QR＝30 n mile，PQ＝16×1.5＝24 (n mile)，PR＝12×1.5＝18 (n mile)，∠1＝45°，要求∠RPQ．
【追问3】要求∠RPQ，你认为△PQR的三边会满足什么关系？你有怎样的猜想？
【师生活动】学生很容易猜想△PQR是直角三角形，它的三边满足勾股定理的逆定理，并通过计算证实猜想．即242＋182＝576＋324＝900，所以PQ2＋PR2＝QR2，根据勾股定理的逆定理可知△PQR是直角三角形，∠RPQ＝90°．而∠1＝45°，所以∠2＝45°．师生通过方位图，明确“海天”号沿西北方向航行．
【答案】解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18，
QR＝30．
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°．
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
【归纳】“航海类”问题的解题要点：
（1）转化思想：将航海中的方位、路程转化为三角形的角度与边长的问题；
（2）解题步骤：①根据“路程＝速度×时间”算出三角形的边长；②用勾股定理的逆定理判断三角形的形状并得到直角；③结合方位角确定航向．
【设计意图】以航海实际问题为载体，通过“梳理条件—转化模型—验证直角—确定方向”的递进式引导，帮助学生理解“将实际问题抽象为几何模型”的转化思想，强化勾股定理逆定理的应用．
【问题2】如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝，DC＝．如果满足AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由．
【师生活动】学生独立思考，教师再通过以下追问，逐步引导学生利用勾股定理及其逆定理解决问题．
【追问1】怎样判断AC与AD是否垂直？
【师生活动】学生根据勾股定理的逆定理可以明确：要判断AC与AD是否垂直，就需要判断△ACD是不是直角三角形，也就要知道△ACD的三条边长．
【追问 2】在△ACD中，题目已知了AD和DC的长度，并没有告诉我们AC的长度，你能想办法求出AC的长度吗？
【师生活动】学生观察图形，发现△ACB是直角三角形（AC⊥BC），已知AB和BC，由勾股定理可以求出AC．师生共同明确解题思路：（1）在Rt△ACB中，根据勾股定理，计算AC；（2）在△ACD中，根据勾股定理的逆定理判断△ACD是不是直角三角形．
【答案】解：因为AC⊥BC，所以∠ACB＝90°．
在Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16．
所以AC＝4．
在△ACD中，AC2＋AD2＝42＋＝，CD2＝＝，
所以AC2＋AD2＝CD2．
因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD．
【归纳】综合运用勾股定理及其逆定理解题的一般思路：．
（1）观察图形，找出直角三角形，用勾股定理计算未知边长；
（2）利用勾股定理的逆定理判断目标三角形是否为直角三角形；
（3）结合图形，说明垂直或角度关系．
【设计意图】以四边形中的垂直判定问题为载体，让学生感受勾股定理及其逆定理在与直角三角形相关问题中的不同作用，增强应用意识．
课堂练习
1．A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
【师生活动】学生尝试在学习任务单上独立完成，教师巡视，对个别混淆方位角的学生进行指导，学生完成后，教师讲评．
【答案】解：由图知，在△ABC中，AB＝12，BC＝5，AC＝13，
因为AB2＋BC2＝122＋52＝169，AC2＝132＝169，
所以AB2＋BC2＝AC2．
所以△ABC为直角三角形，且∠B＝90°．
由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向．
2．高师傅有5根长度（单位：dm）分别为a＝6，b＝8，c＝10，d＝24，e＝26的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架．请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合．
【师生活动】师生共同分析，达成共识：要使找到的钢条组合能焊接出一个直角三角形钢架，就要使钢条组合的长度满足勾股定理的逆定理．由于直接观察a，b，c，d，e的长度不易进行判断，所以可以先分别计算出它们的平方值，再进行观察．学生列出所有平方值，寻找满足a2＋b2＝c2的组合，尝试在学习任务单上完成解答，教师讲评．
【答案】解：a2＝36，b2＝64，c2＝100，d2＝576，e2＝676，
所以a2＋b2＝c2，c2＋d2＝e2，
可能的钢条组合有2种，长度分别为a，b，c的钢条和长度分别为c，d，e的钢条．
如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．
【师生活动】师生共同分析，达成共识：先利用勾股定理求出AC，再利用逆定理判断△ACD为直角三角形，最后把四边形ABCD分割为两个直角三角形，求面积之和．学生尝试在学习任务单上完成解答，教师讲评．
【答案】解：因为AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝25，AC＝5．
在△ACD中，AC＝5，CD＝12，AD＝13，
所以AD2＝AC2＋CD2，
所以△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°．
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝＋＝36．
【设计意图】通过课堂练习，帮助学生加深对勾股定理及其逆定理的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强应用意识．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．勾股定理及其逆定理的核心内容分别是什么？本节课利用它们解决了哪些实际问题？解决问题的关键是什么？
2．综合运用勾股定理及其逆定理解决问题的一般步骤是什么？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
教材第38页习题20.2第3，4，5题．