初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形第2课时教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.3 特殊的平行四边形第2课时教案设计，共14页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教材分析
本节课是初中四边形章节的收官内容，承接平行四边形、矩形、菱形的判定与性质，是特殊四边形知识的综合与升华，也是后续几何证明、图形变换的重要基础.
教材回顾正方形定义，明确它既是矩形又是菱形的特殊四边形.从矩形、菱形、平行四边形、四边形四个维度，推导正方形的判定方法，构建“特殊化”判定逻辑.通过例6，示范“先证四边相等(菱形)，再证一角为直角(矩形)”的正方形判定思路.最后通过练习，强化不同判定路径的应用，落实“先判一类特殊四边形，再补另一类特殊性质”的核心方法.

二、学情分析
已有基础：学生已掌握平行四边形、矩形、菱形的定义、性质与判定，具备基本的全等三角形证明能力，能进行简单的几何推理.
存在困难：易混淆正方形与矩形、菱形的判定条件，难以理清“先判谁，再补谁”的逻辑顺序；对“从一般四边形出发”的判定路径(如对角线互相垂直平分且相等)理解较抽象，应用不熟练.
认知特点：初中生以具象思维为主，需要通过图形直观、例题示范来理解抽象判定逻辑，喜欢动手操作、合作探究的学习方式.

三、教学目标
1.掌握正方形的多种判定方法，能根据条件选择合适路径证明四边形是正方形.
2.能规范书写正方形的证明过程，落实“先判矩/菱，再补另一类性质”的推理格式.
3.经历正方形的判定定理的探究过程，进一步发展学生的推理能力和表达能力；
4.感受特殊四边形之间的内在联系，体会几何知识的系统性与严谨性.

四、教学重难点
重点：掌握正方形的多种判定方法，能根据条件选择合适路径证明四边形是正方形；
难点：能规范书写正方形的证明过程，落实“先判矩/菱，再补另一类性质”的推理格式.

五、教学过程
复习回顾
问题1：正方形的定义是什么？
答：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
问题2：正方形具有哪些性质?
答：边：四条边相等．
角：四个角都是直角．
对角线：对角线相等，且互相垂直平分．
对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．
师生活动：教师引导学生回顾正方形定义与性质，师生共同梳理边、角、对角线及对称性要点.学生口头回答，补充遗漏点，教师板书构建知识框架.
设计意图：以复习唤醒旧知，搭建新旧知识桥梁，为正方形判定探究筑牢认知基础.
探究新知
活动：探究正方形的判定定理
问题3：如何判定一个四边形是正方形呢?
师生活动：教师出示集合图，抛出问题引导学生讨论：正方形与矩形、菱形的关系.学生结合图形交流，师生共同总结出“先判矩形再证菱形，或先判菱形再证矩形”的判定思路.
要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形.
设计意图：借助集合图直观呈现特殊四边形的包含关系，帮助学生理解正方形的双重属性，为后续判定方法的探究搭建认知框架.
问题4：分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论.
满足怎样条件的矩形是正方形?
师生活动：教师出示矩形转正方形的示意图，引导学生分组探究矩形变正方形的条件，学生尝试证明“邻边相等”“对角线垂直”的矩形是正方形，师生共同总结判定方法.
尝试证明：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB＝AD．
求证：矩形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A＝90°．
又∵AB＝AD，
∴矩形 ABCD 是正方形(有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形)．
总结：有一组邻边相等的矩形是正方形．
已知：在矩形 ABCD 中，AC，BD是它的两条对角线，AC⊥BD．
求证：矩形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OB＝OD．
∵AC⊥BD，
∴AC 是线段 BD 的垂直平分线．
∴AB＝AD．
∴矩形 ABCD 是正方形．
总结：对角线互相垂直的矩形是正方形．
设计意图：通过直观图示与证明活动，让学生体会“矩形+菱形性质=正方形”的逻辑，落实判定方法，培养几何推理能力.
问题5：你能根据“正方形是有一个角是直角的菱形”得出什么判定方法？
师生活动：教师出示菱形转正方形的示意图，引导学生猜想并证明“有一个角是直角”“对角线相等”的菱形是正方形，师生共同总结菱形到正方形的判定方法.
猜想：有一个角是直角的菱形是正方形.
问题6：菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？
答：菱形：对角线互相垂直平分
正方形：对角线相等且互相垂直平分
追问：对角线满足怎样条件的菱形是正方形?
答：对角线相等
尝试证明：(1)有一个角是直角的菱形是正方形.
(2)对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝90°．
求证：菱形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝AD．
又∵∠A＝90°，
∴菱形 ABCD 是正方形(有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形)．
总结：有一个角是直角的菱形是正方形．
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.
∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
总结：对角线相等的菱形是正方形.
设计意图：类比矩形判定思路，让学生体会“菱形+矩形性质=正方形”的逻辑，完善判定体系，培养类比推理与几何证明能力.
问题7：如何判定一个平行四边形是正方形呢?
师生活动：教师引导学生从平行四边形、一般四边形出发，结合定义与对角线性质，分组讨论正方形判定方法，师生共同梳理并总结出从边、角、对角线出发的完整判定思路.
定义判定：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
问题8：一个四边形的对角线具有什么性质时可判定它为正方形？
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
总结：判定正方形的常见思路：
1. 从边上证明. 矩形邻边相等正方形；
2. 从角上证明. 菱形有一个角是直角正方形；
3. 从对角线上证明.
(1)矩形对角线互相垂直正方形；
(2)菱形对角线相等正方形；
(3)平行四边形对角线相等且互相垂直正方形；
(4)四边形对角线相等且互相垂直平分正方形.
设计意图：完善正方形判定体系，帮助学生建立“从一般到特殊”的判定逻辑，形成结构化知识网络，提升综合运用几何知识的能力.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师引导学生分析例题条件，学生分组探究证明路径，先证三角形全等得四边相等判定菱形，再推角为直角证矩形，师生共同规范书写证明步骤.
例1 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
分析：要证明四边形 EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = BC = CD = DA .
又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .
∴HE = EF = FG = GH .
∴四边形 EFGH 是菱形 .
∵△AEH ≌△BFE，∴∠2 = ∠3.
又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.
∴四边形 EFGH 是正方形 .
设计意图：通过典型例题，让学生实践“先证菱形、再证矩形”的判定逻辑，巩固正方形判定方法，提升逻辑推理与几何证明的规范表达能力.
【经典例题】
师生活动：教师组织学生分组研讨例2、例3，学生独立完成证明，交流“AAS/SAS全等”平行四边形+邻边相等+直角”的推导逻辑，师生互评步骤，规范几何证明书写.
例2 如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
(1)求证：BE=CM；
(2)延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN.
求证：四边形AEFN是正方形.
分析：(1)先证△ABE≌△EMF(AAS)，得AB=EM；由 AB=BC得BC－EC=EM－EC，故 BE=CM.
(2)先证△ABE≌△ADN(SAS)得AE=AN、∠EAN=90°，结合AE=EF得EF=AN且AN//EF，证得平行四边形，再由邻边相等、一角为直角得正方形.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°．
∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°，
∴∠BAE=∠FEM．
在△ABE与△EMF中，
∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，
∴△ABE≌△EMF(AAS)，∴AB=EM．
∴BC=EM，
∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．
∵DN=BE，∴△ABE≌△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．
∵AE=EF，∴EF=AN．
∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠EAN+∠AEF=180°，∴AN∥EF，
∴四边形AEFN是平行四边形．
∵AE=EF，∴四边形AEFN是菱形．
∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFN是正方形．
例3 如图，E为正方形ABCD外一点，∠AEB=90∘，将Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转90∘得到△ADF，DF的延长线交BE于点H．
(1)试判断四边形AFHE的形状，并说明理由；
(2)已知BH=7，BC=13，求DH的长．
分析：(1)由旋转得全等，推得∠FAE=90°，结合三个直角证矩形，再由邻边相等得正方形.
(2)设边长为x，勾股定理列方程求x，得BE=DF，再由DH=DF+FH计算得解.
(1)解：四边形AFHE是正方形. 理由如下：
∵Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转90∘得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF. ∴∠AEB=∠AFD=90∘.
∴∠AFH=90∘.
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∠BAE=∠DAF.
又∵易得∠DAF+∠FAB=90∘，
∴∠BAE+∠FAB=90∘.∴∠FAE=90∘.
在四边形AFHE中，∠FAE=90∘，∠AEH=90∘，∠AFH=90∘，
∴四边形AFHE是矩形.
又∵AE=AF，
​​∴四边形AFHE是正方形.
(2)解：设AE=x.易得AE=EH=FH=x，
BC=AB=13.
在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2，
即132=x2+x+72，
解得x1=5，x2=−12（不合题意，舍去）.
∴EH=FH=5.
∴BE=BH+EH=7+5=12.
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴DF=BE=12.
∴DH=DF+FH=12+5=17
设计意图：通过综合例题，让学生熟练应用“先证菱/平行四边形，再证直角”的正方形判定逻辑，强化全等与性质结合的推理能力，夯实解题规范与数学思维.
课堂练习
【教材练习】
1. 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的菱形；
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.
解：分别满足条件（1）（2）（3）（4）的四边形都是正方形.
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 平分∠ACB， DE ⊥ BC，DF⊥ AC，垂足分别为 E，F . 求证：四边形 CEDF 是正方形.
证明：∵DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，
∴∠DEC = ∠DFC = 90°.
又∠ACB = 90°，∴四边形 CEDF 是矩形.
∵CD 平分∠ACB，DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，
∴DF = DE .
∴矩形 CEDF 是正方形.
3. 王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式， 于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示）， 让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合. 王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾. 你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？
解：不一定是正方形样式.理由：两次沿对角线对折丝巾能完全重合，说明丝巾四条边相等，这样的丝巾一定是菱形，但不一定是正方形.因为正方形不仅要求四条边相等，还要求四个角都是直角.
师生活动：教师布置练习，学生独立完成判定说理与证明，小组交流第3题的易错点，教师点评并强调“菱形+直角=正方形”的判定逻辑，规范证明书写.
设计意图：通过分层练习巩固正方形判定方法，结合生活情境题辨析菱形与正方形的区别，强化“正方形需同时满足菱形与矩形性质”的认知，提升知识应用与逻辑表达能力.
【限时训练】
1.下列条件：
①对角线互相垂直且相等的平行四边形；
②对角线互相垂直的矩形；
③对角线相等的菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形；
⑤既是矩形又是菱形的四边形；
⑥有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形．其中能判定四边形为正方形的有( )个．
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】D
【解析】解：正方形是对角线互相垂直且相等的平行四边形；正方形是对角线互相垂直的矩形；正方形是对角线相等的菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形；正方形是特殊的矩形和菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，一个角是直角的菱形是正方形．故题中6个都是真命题，
故选D．
2.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，四边形ABCD的两条对角线：满足条件 时，四边形EFGH是菱形;满足条件 时，四边形EFGH是矩形;满足条件 时，四边形EFGH是正方形．
【答案】AC=BD
AC⊥BD
AC=BD且AC⊥BD
3.如图，四边形ABCD为矩形，CN⊥AC，AN分别与BD，CD交于点E，F，E为AN的中点．
(1)求证：四边形ABCD为正方形；
(2)若AF=3NF，求ANDN的值．
【答案】(1)证明：设AC与BD交于点O．
由矩形ABCD，得AO=OC．
∵E为AN的中点，
∴OE是△ACN的中位线，
∴OE//CN，
∵CN⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴四边形ABCD为正方形；
(2)解：连接CE，
∵CN//BD，
∴∠EDF=∠FCN，∠DEF=∠CNF．
∵AE=EN，AF=3NF，
∴EF=NF，
∴△DEF≌△CNF(AAS)，
∴DE=CN．
∵DB//CN，
∴四边形DECN为平行四边形，
∴DN=CE．
∵AC⊥CN，E为AN的中点，
∴AN=2EC，
∴AN=2DN，
∴ANDN=2．
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．

(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A=_____时，四边形BECD是正方形？
【答案】(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
(2)解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴▱四边形BECD是菱形；
(3)解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
故答案为45°．
5.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．

(1)求证：BF=DE；
(2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中
AD=AB∠DAE=∠BAFAE=AF
∴△ADE≌△ABF(SAS)，
∴BF=DE；
(2)解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=12AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE//AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
师生活动：教师布置综合练习题，学生独立完成后小组互评，重点交流中点四边形、矩形转正方形等题型的判定思路，教师针对易错点进行点评，规范证明书写.
设计意图：通过多维度综合练习，全面巩固正方形判定方法，强化“矩形+菱形性质=正方形”的核心逻辑，提升学生综合运用几何知识、分析复杂图形的能力.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.从定义法的角度说一说正方形的判定方法是什么？
2.从边的角度说一说正方形有哪些判定方法？
3.从角的角度说一说正方形有哪些判定方法？
4.从对角线的角度说一说正方形有哪些判定方法？

设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：生活中的正方形判定与验证
任务：1.请在家中或教室中寻找一个你认为是正方形的物体，如一块地砖、一扇窗户或一本书的封面.
2.利用卷尺、三角板、直尺等工具，设计一套验证方案，判断该物体是否为正方形.
3.详细写出验证步骤，并解释每一步的几何依据(如边长相等、角为直角、对角线相等且垂直等)
要求：验证方法需简单可行，工具常见；步骤清晰，逻辑严密；结论需明确说明该物体是否为正方形，并排除长方形或菱形的可能；可结合图形辅助说明，增强说服力.