数学八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用第2课时教案

这是一份数学八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用第2课时教案，共9页。教案主要包含了师生活动，设计意图，思维导图参考等内容，欢迎下载使用。
1．能熟练运用勾股定理解决现实生活中的实际问题，感受勾股定理在生产、生活中的应用，增强应用意识．
2．经历将实际问题抽象为直角三角形数学模型的过程，体会转化思想，提升分析和解决问题的能力．
教学重点
灵活运用勾股定理解决实际问题．
教学难点
灵活运用勾股定理解决实际问题．
教学过程
新课导入
【引导语】上节课我们成功探索并证明了勾股定理，知道了直角三角形的三边具有特殊的数量关系，即两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中重要的定理之一，在现实生活中有着极为广泛的应用．今天，我们就一同探究如何运用它解决实际问题．
【问题】同学们见过工人师傅搬东西吗？如果要搬运的物品，它的长或宽都比房间的门更大时，它还有可能通过吗？这时候，有经验的工人师傅会怎么做呢？
【师生活动】学生结合生活经验自由发言，师生达成共识：工人师傅会把物品倾斜一个角度，尝试斜着通过．
【追问】想象一下，现在有一块长方形的薄木板（不考虑木板厚度），想通过一个矩形的门框，横着或竖着都无法通过时，同学们觉得应该怎样判断它能否斜着通过呢？
【师生活动】教师组织学生交流讨论，师生达成共识：矩形门框的对角线是框内最长线段，也是木板斜着能通过的最大长度，判断木板能否通过，关键在于比较木板的长、宽与门框对角线长度之间的大小关系．
【设计意图】结合具体的问题情境，激发学生探究兴趣，让学生初步感知“将实际问题抽象为数学问题”的思路，为后续构造直角三角形，利用勾股定理解决实际问题作好铺垫．
新知探究
【问题1】一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
【师生活动】根据前面的讨论，师生共同明确解决问题的思路：先求出门框对角线的长度，再比较这个长度与木板的宽度．教师请学生独立思考，尝试在学习任务单上解决问题，并请学生代表分享做法．
【方法】连接对角线AC，构造Rt△ABC．在Rt△ABC中，∠B＝90°，直角边AB＝1 m，BC＝2 m，利用勾股定理求出斜边AC（即门框对角线）长，再与木板宽度2.2 m进行比较．
【答案】解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，
所以AC＝≈2.24＞2.2 ．
所以木板能从门框内通过．
【归纳】“能否通过”类问题的解题要点．
（1）核心思想：在矩形（门框、通道等）中构造直角三角形，矩形的对角线为斜边；
（2）解题步骤：①构造直角三角形；②找准直角、斜边和直角边；③利用勾股定理求对角线（斜边）长度；④与物体的关键尺寸进行比较．
【设计意图】让学生亲身经历“构造模型—运用定理—计算比较”的完整过程，感受勾股定理在现实生活中的应用，强化转化思想，增强应用意识．
【问题2】如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗？
【师生活动】 经过交流讨论后，师生共同明确：可以假设梯子的底端由点B移动到点D，那么，在梯子移动前后，梯子的高度始终保持不变，即AB＝CD．教师通过一系列追问，逐步引导学生利用勾股定理解决问题．
【追问1】梯子移动前后，分别构成了哪两个直角三角形？每个三角形的已知边和待求边是什么？
【师生活动】学生观察图形可知：
梯子移动前构成了Rt△AOB，斜边AB＝2.5 m，直角边OB＝0.7 m，待求直角边为OA
梯子移动后构成了Rt△COD，斜边CD＝2.5 m，直角边OD＝0.7＋0.8＝1.5 m，待求直
角边为OC．
【追问2】如何判断梯子顶端是否沿墙AO下滑0.8 m？
【师生活动】师生共同分析，得出：可以先根据勾股定理分别求出OA和OC，再计算出OA与OC的差值，即为顶端下滑的距离．
【答案】解：当梯子底端沿OB向外移动0.8 m时，设梯子的底端由点B移动到点D，
顶端由点A下滑到点C．可以看出，AC＝OA－OC．
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76，
OA＝2.4．
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OC2＝CD2－OD2＝2.52－(0.7+0.8)2＝4，
OC＝2．
所以，AC＝OA－OC＝2.4－2＝0.4．
因此，当梯子底端向外移动0.8 m时，梯子顶端并不是下滑0.8 m，而是下滑0.4 m．
【归纳】“梯子移动”类问题的解题要点．
（1）隐藏条件：梯子长度不变，始终为直角三角形的斜边长；
（2） 核心思路：分别分析移动前后的两个直角三角形，用勾股定理求对应直角边长度；
（3）关键提醒：避免主观臆断“底端移动距离＝顶端移动距离”，需通过计算验证．
【设计意图】让学生经历“分别计算—求差值—验证结论”的过程，进一步熟练对勾股定理的应用，同时纠正生活中的直觉误区，培养学生“用数据说话”的严谨思维．
课堂练习
1．如图所示， A，B是池塘边上的两点，点C是与BA方向成直角的方向上一点，测得BC＝60 m，AC＝20 m．求A，B两点间的距离（结果取整数）．
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师讲评．
【答案】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2＝BC2－AC2＝602－202＝3 200．
AB＝≈57．
答：A，B两点间的距离约为57 m．
2．如图所示，用激光测距仪测量一栋楼的高度，位于地面上点A处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点B，仪器显示AB＝23.1 m；再将激光射向楼顶端的点C，仪器显示AC＝31.9 m；最后仪器自动显示出楼高BC＝22 m．你能说出其中的数学道理吗？
【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师讲评，并指出：这种先根据激光测距仪直接测量两个距离值，再利用勾股定理求得建筑物高度的方式，是一种间接测量建筑物高度的方式．
【答案】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
BC2＝AC2－AB2＝31.92－23.12＝484．
BC＝＝22．
所以楼高BC为22 m．
3．电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸＝2.54 cm）为单位．王芳测得自家电视机的屏幕宽为71 cm，高为40 cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）？
【师生活动】学生先根据题意以及常识绘制电视机屏幕的矩形示意图，注意到屏幕的宽和高为直角边，并标注宽71 cm、高40 cm，自主构造直角三角形（对角线为斜边）．教师引导学生先正确运用勾股定理求对角线的长度，再进行单位换算．
【答案】解：设屏幕对角线的长度为x cm．
在直角三角形中，根据勾股定理，
x2＝712＋402＝6 641．
x＝≈81.49．
81.49÷2.54≈32．
答：这台电视机的屏幕尺寸约为32英寸．
【设计意图】通过课堂练习，强化学生对勾股定理的实际应用的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力．
【归纳】利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）审清题意，识别实际问题中的直角三角形场景，明确直角、直角边和斜边；
（2）根据勾股定理列出数量关系式；
（3）代入数据计算，检验结果是否符合实际意义，写出最终结论．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录．
1．本节课用勾股定理解决了哪些实际问题？解决问题的关键是什么？
2. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤是什么？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
教材第30页习题20.1第2，3，4题．