人教版 (2019)必修 第二册向心加速度导学案

这是一份人教版 (2019)必修 第二册向心加速度导学案，共9页。学案主要包含了模块一 学习导航，模块二 知识铺垫，模块三 知识点梳理，模块四 案例探究，模块五 拓展延伸，模块六 当堂检测等内容，欢迎下载使用。
【模块一 学习导航】
一、学习目标
1.我能说出向心加速度的定义和方向特点，准确判断匀速圆周运动中加速度的瞬时方向。
2.我能推导向心加速度的大小公式，写出aₙ = v²/r、aₙ = ω²r、aₙ = 4π²r/T²三种表达式，并说明各物理量的含义。
3.我能运用向心加速度公式分析生活中的圆周运动实例，计算具体情境下的向心加速度大小。
4.我能辨析向心加速度与线速度、角速度的比例关系，根据控制变量法判断不同条件下aₙ与r的正比或反比关系。
二、学习重点与难点
重点：向心加速度的概念理解与公式应用。
难点：向心加速度方向的瞬时性理解与公式推导过程中的极限思想。
【模块二 知识铺垫】
一、概念填空
课前观看微课视频《圆周运动的加速度》，完成下列填空：
1.物体做匀速圆周运动时，线速度的保持不变，但时刻在改变，因此匀速圆周运动是运动，必然存在。
2.速度变化量Δv是量，其运算遵循定则。
3.加速度的定义式为a = ，它描述的是速度的快慢。
二、判断正误
判断下列说法是否正确，正确的打√，错误的打×：
1.匀速圆周运动的加速度为零。（ ）
2.曲线运动一定有加速度。（ ）
3.加速度的方向一定与速度方向相同。（ ）
4.速度变化量大的物体加速度一定大。（ ）
三、生活应用
列举你在生活中观察到的3种圆周运动实例，并思考这些运动中物体的加速度可能指向什么方向：
1.__
2.__
3.__
【模块三 知识点梳理】
一、问题链探究
问题一：匀速圆周运动有没有加速度？
从直线运动的经验出发，速度大小不变就没有加速度。这个结论适用于圆周运动吗？答案是否定的。速度是矢量，既有大小又有方向。匀速圆周运动中，速度的大小虽然不变，但方向时刻在改变。速度方向变化意味着速度发生了变化，因此必然存在加速度。
这里容易踩坑。不要被匀速二字迷惑。匀速圆周运动中的匀速指的是匀速率，即速度大小不变，而非速度不变。
问题二：如何描述速度方向的变化？
设质点做匀速圆周运动，经过很短的时间Δt，从A点运动到B点。在A点的速度为v₁，在B点的速度为v₂。由于是匀速圆周运动，v₁和v₂的大小相等，都等于v。将v₁和v₂的起点移到同一点，从v₁的末端指向v₂的末端的矢量就是速度变化量Δv。
Δv的方向有什么特点？当Δt趋近于零时，B点无限接近A点，Δv的方向就会垂直于v₁的方向，也就是指向圆心。
问题三：向心加速度的方向有什么特点？
根据加速度的定义a = Δv/Δt，加速度的方向与速度变化量Δv的方向相同。由于Δv指向圆心，因此匀速圆周运动的加速度方向也指向圆心。我们把这个加速度叫作向心加速度，用符号aₙ表示。
向心加速度的方向始终与速度方向垂直，沿半径指向圆心。注意，向心加速度的方向是时刻变化的，因为物体在圆周上的位置不断改变，圆心的相对方向也在改变。因此匀速圆周运动是变加速曲线运动，而非匀变速运动。
问题四：向心加速度的大小如何计算？
利用几何知识推导。当Δt很小时，弧长AB近似等于弦长AB，速度矢量三角形与几何三角形OAB相似。根据相似三角形的比例关系，Δv/v = AB/r。又因为AB ≈ v·Δt，代入可得Δv = v²·Δt/r。两边除以Δt，得到aₙ = Δv/Δt = v²/r。
结合线速度与角速度的关系v = ωr，还可以推导出aₙ = ω²r。再结合周期公式ω = 2π/T，还可以得到aₙ = 4π²r/T²。
问题五：向心加速度与半径成正比还是成反比？
这个问题不能一概而论。当线速度v一定时，aₙ与r成反比；当角速度ω一定时，aₙ与r成正比。判断比例关系时，必须先明确哪个物理量保持不变。
举个例子。同一圆盘上的不同点，角速度相同，半径越大的点向心加速度越大，此时aₙ与r成正比。皮带传动的两个轮子边缘，线速度大小相同，半径越大的轮子向心加速度越小，此时aₙ与r成反比。
问题六：变速圆周运动的加速度还是向心加速度吗？
变速圆周运动中，速度的大小和方向都在变化。此时加速度可以分解为两个分量：沿半径指向圆心的向心加速度（法向加速度），它改变速度的方向；沿切线方向的切向加速度，它改变速度的大小。合加速度的方向不再指向圆心。
本节课我们重点研究匀速圆周运动的向心加速度。变速圆周运动的向心加速度公式仍然适用，只是此时的向心加速度是总加速度的一个分量。
二、重点突破
【关键点】学生在学习向心加速度与半径的关系时最常出现的问题是不加条件地说向心加速度与半径成正比或成反比，忽略了控制变量的前提。这种错误源于对公式的机械记忆，缺乏对物理意义的深入理解。实际上，aₙ = v²/r和aₙ = ω²r两个公式都是正确的，但适用条件不同。前者在线速度不变时成立，后者在角速度不变时成立。在具体问题中，必须先分析哪个物理量保持不变，再判断比例关系。例如，同轴转动的物体角速度相同，皮带传动的两轮边缘线速度相同，这两种情况下aₙ与r的关系完全不同。
三、难点突破
【要牢记】向心加速度方向的瞬时性理解是本节课的难点。学生往往认为加速度方向是固定的，难以接受加速度方向随时间不断变化的事实。突破方法：课堂上用5分钟开展矢量作图活动。教师在黑板上画出一个圆，标出A、B、C、D四个等分点。让学生分组画出每个点的速度方向和加速度方向。第一步，学生独立作图；第二步，小组内交流讨论；第三步，每组派代表上台展示。通过对比四个点的加速度方向，学生能够直观地发现加速度方向始终指向圆心，但在不同位置指向不同，从而理解向心加速度方向的瞬时性。教师最后总结：向心加速度的方向时刻在变，匀速圆周运动是加速度大小不变、方向不断变化的变加速运动。
四、课堂探究活动
数学建模探究：建立匀速圆周运动的加速度模型
活动目标：通过数学推导，建立向心加速度的定量表达式。
活动步骤：
1.教师提问：匀速圆周运动中，速度变化量Δv与哪些因素有关？
2.学生分组讨论，尝试用几何方法寻找Δv与v、r的关系。
3.每组推选代表展示推导过程，其他小组补充完善。
4.教师引导学生运用极限思想，当Δt→0时，Δv/Δt就是瞬时加速度。
5.师生共同总结向心加速度公式aₙ = v²/r = ω²r。
师生互动：教师提问为什么要用极限思想？学生回答因为我们要研究的是瞬时加速度，而非平均加速度。教师追问Δt趋近于零时，Δv的方向会怎样变化？学生回答Δv的方向越来越接近垂直于速度方向，最终指向圆心。
五、板书设计
6.3 向心加速度
一、定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，称为向心加速度。
二、方向：始终指向圆心，与速度方向垂直。
三、大小：aₙ = v²/r = ω²r = 4π²r/T²
四、物理意义：描述速度方向变化的快慢。
五、注意：匀速圆周运动是变加速曲线运动。
【模块四 案例探究】
一、基础应用案例
例题1：一个物体做匀速圆周运动，半径为0.5m，线速度大小为2m/s。求物体的向心加速度大小。
解答：已知r = 0.5m，v = 2m/s。根据向心加速度公式aₙ = v²/r，代入数据得：
aₙ = (2m/s)² / 0.5m = 4m²/s² / 0.5m = 8m/s²
方法总结：已知线速度和半径，直接使用公式aₙ = v²/r计算向心加速度。注意单位要统一，速度用m/s，半径用m，加速度单位就是m/s²。
二、比例关系案例
例题2：大齿轮和小齿轮通过链条传动，大齿轮半径是小齿轮的2倍。A是大齿轮边缘上的点，B是小齿轮边缘上的点。比较A、B两点的向心加速度大小关系。
解答：链条传动的两个轮子边缘，线速度大小相等，即v₁ = v₂ = v。根据公式aₙ = v²/r，在线速度相同时，向心加速度与半径成反比。
已知r₁ = 2r₂，因此a₁/a₂ = r₂/r₁ = 1/2，即a₂ = 2a₁。
小齿轮边缘B点的向心加速度是大齿轮边缘A点的2倍。
方法总结：比较不同圆周运动的向心加速度时，先判断哪个物理量相同。线速度相同时用aₙ = v²/r比较，角速度相同时用aₙ = ω²r比较。传动问题中，同轴转动角速度相同，皮带或链条传动边缘线速度相同。
三、生活实例案例
例题3：汽车在水平公路上转弯，弯道半径为50m。若汽车的速率为36km/h，求汽车转弯时的向心加速度大小。
解答：先统一单位，v = 36km/h = 10m/s，r = 50m。
根据公式aₙ = v²/r = (10m/s)² / 50m = 100m²/s² / 50m = 2m/s²。
汽车转弯时的向心加速度大小为2m/s²，方向指向弯道圆心。
方法总结：生活中的圆周运动问题，先建立物理模型，确定圆周运动的圆心和半径，然后选择合适的公式计算。汽车转弯时，向心力由静摩擦力提供，向心加速度的方向沿水平方向指向弯道内侧。
【模块五 拓展延伸】
一、综合应用题
1.（15分）地球绕太阳做匀速圆周运动，轨道半径约为1.5×10¹¹m，公转周期为365天。求地球绕太阳运动的向心加速度大小。（结果保留两位有效数字）
2.（15分）一个圆盘绕中心轴匀速转动，角速度为10rad/s。圆盘上有A、B两点，A点到转轴的距离为0.2m，B点到转轴的距离为0.4m。求A、B两点的向心加速度之比和线速度之比。
3.（20分）一个小球用长为L的细线悬挂在天花板上，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ。已知小球的线速度大小为v，求小球做圆周运动的向心加速度大小。（用v、L、θ表示）
二、迁移应用
向心加速度的知识在工程技术中有广泛应用。例如，在设计高速公路的弯道时，需要根据设计车速和允许的最大向心加速度来确定弯道半径。如果弯道半径太小，汽车转弯时的向心加速度就会过大，可能导致车辆侧滑或翻车。
请你课后查阅资料，了解我国高速公路弯道的设计标准，思考向心加速度的知识在其中是如何应用的。
【模块六 当堂检测】
A组练习
1.关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A.向心加速度的方向始终与速度方向相同
B.向心加速度的大小保持不变，因此匀速圆周运动是匀变速运动
C.向心加速度的方向始终指向圆心，且时刻在变化
D.向心加速度描述的是速度大小变化的快慢
2.做匀速圆周运动的物体，其向心加速度的大小（ ）
A.与线速度成正比 B.与角速度成正比
C.与半径成反比 D.与线速度的平方成正比
3.一个物体做匀速圆周运动，半径为2m，周期为πs。求物体的向心加速度大小。
B组练习
4.关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A.由aₙ = v²/r可知，aₙ与r成反比
B.由aₙ = ω²r可知，aₙ与r成正比
C.由ω = v/r可知，ω与r成反比
D.由aₙ = ωv可知，aₙ与r无关
5.甲、乙两物体都做匀速圆周运动，甲的质量是乙的2倍，甲的转动半径是乙的1/2。在相同时间内，甲转过60°，乙转过45°。则甲、乙两物体的向心加速度大小之比为（ ）
A.1:4 B.2:3 C.8:9 D.9:8
6.一个电风扇的扇叶长0.3m，转速为1200r/min。求扇叶端点的向心加速度大小。（结果保留整数）
7.自行车的大齿轮与小齿轮通过链条连接，大齿轮的半径为10cm，小齿轮的半径为4cm。当大齿轮每秒转1圈时，求小齿轮边缘的向心加速度大小。（结果保留一位小数）
参考答案
知识铺垫答案
一、概念填空
1.大小 方向 变速 加速度
2.矢 平行四边形
3.Δv/Δt 变化
二、判断正误
1.× 2.√ 3.× 4.×
当堂检测答案
A组练习
1.【答案】C
【解析】向心加速度的方向始终与速度方向垂直，指向圆心，故A错误，C正确。向心加速度的方向时刻在变化，因此匀速圆周运动是变加速运动，故B错误。向心加速度描述的是速度方向变化的快慢，故D错误。
2.【答案】D
【解析】根据公式aₙ = v²/r，在半径一定时，向心加速度与线速度的平方成正比，故A错误，D正确。根据公式aₙ = ω²r，在半径一定时，向心加速度与角速度的平方成正比，故B错误。只有在线速度一定时，向心加速度才与半径成反比，故C错误。
3.【答案】8m/s²
【解析】已知r = 2m，T = πs。先求角速度ω = 2π/T = 2π/π = 2rad/s。再根据公式aₙ = ω²r = (2rad/s)² × 2m = 8m/s²。
B组练习
4.【答案】D
【解析】公式aₙ = v²/r中，只有当v一定时，aₙ才与r成反比，故A错误。公式aₙ = ω²r中，只有当ω一定时，aₙ才与r成正比，故B错误。公式ω = v/r中，只有当v一定时，ω才与r成反比，故C错误。公式aₙ = ωv中，aₙ由ω和v共同决定，与r无直接比例关系，故D正确。
5.【答案】C
【解析】相同时间内，甲转过60°，乙转过45°，因此角速度之比ω₁:ω₂ = 60°:45° = 4:3。转动半径之比r₁:r₂ = 1:2。根据公式aₙ = ω²r，向心加速度之比a₁:a₂ = (ω₁²r₁):(ω₂²r₂) = (16×1):(9×2) = 16:18 = 8:9。
6.【答案】约4737m/s²
【解析】转速n = 1200r/min = 20r/s，角速度ω = 2πn = 40π rad/s。扇叶端点的向心加速度aₙ = ω²r = (40π)² × 0.3 ≈ 4737m/s²。
7.【答案】约9.9m/s²
【解析】大齿轮的角速度ω₁ = 2πn₁ = 2π rad/s。大齿轮边缘的线速度v₁ = ω₁r₁ = 2π × 0.1 = 0.2π m/s。链条传动，小齿轮边缘的线速度v₂ = v₁ = 0.2π m/s。小齿轮半径r₂ = 4cm = 0.04m。小齿轮的向心加速度aₙ = v₂²/r₂ = (0.2π)² / 0.04 = π² ≈ 9.9m/s²。
拓展延伸答案
1.【答案】约5.9×10⁻³m/s²
【解析】T = 365天 = 365×24×3600s ≈ 3.15×10⁷s。根据公式aₙ = 4π²r/T² = 4π²×1.5×10¹¹ / (3.15×10⁷)² ≈ 5.9×10⁻³m/s²。
2.【答案】向心加速度之比1:2，线速度之比1:2
【解析】同轴转动，角速度相同。根据aₙ = ω²r，a₁:a₂ = r₁:r₂ = 0.2:0.4 = 1:2。根据v = ωr，v₁:v₂ = r₁:r₂ = 1:2。
3.【答案】aₙ = v² / (Lsinθ)
【解析】小球做圆周运动的半径r = Lsinθ。根据公式aₙ = v²/r = v² / (Lsinθ)。