人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动3 向心加速度导学案及答案

这是一份人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动3 向心加速度导学案及答案，共12页。

1.理解向心加速度的概念(重点)。
2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(重难点)。
一、对向心加速度的理解
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
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1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向________，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2．方向：始终指向________。
3．作用：改变速度的________，不改变速度的________。
4．物理意义：描述速度________变化的快慢。
5．说明：匀速圆周运动加速度的________时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是________________。
6．变速圆周运动：变速圆周运动的加速度____________；可分解为____________和____________分析。向心加速度改变速度________，切向加速度改变速度________。
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。( )
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。( )
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心。( )
(4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。( )
二、向心加速度的大小
1．向心加速度公式
(1)an＝eq \f(v2,r)＝________。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝________。
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝________＝____________。
2．向心加速度与半径的关系(如图所示)
3．向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。
(1)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变。( )
(2)由an＝eq \f(4π2,T2)r知，向心加速度an与半径r成正比。( )
例1 自行车靠一条链子将两个齿轮连接起来，一辆自行车的齿轮转动示意图如图所示，O1、O2是自行车的两个转动齿轮1和2的中心，A和B分别是齿轮1和齿轮2边缘上一点，其中齿轮1上有一点C，C点到齿轮1中心O1的距离为齿轮1半径的一半，则( )
A．A点和B点的线速度相同
B．B点和C点的向心加速度相等
C．B点和C点的向心加速度之比为4∶1
D．B点和C点的线速度大小之比为2∶1
例2 (2022·扬州市邵伯高级中学高一月考)2022年2月，北京冬奥会上，中国选手夺得双人花样滑冰运动冠军。如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为0.5 r/s，女运动员触地冰鞋的线速度为1.5π m/s，(设π2＝10)求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度ω；
(2)触地冰鞋做圆周运动的半径r；
(3)触地冰鞋向心加速度a向的大小。
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三、圆周运动的动力学问题分析
例3 长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g)
(1)细线上的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。
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思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？
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例4 甲图是两个圆锥摆，两摆球运动轨道在同一个水平面内，乙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．甲图中两小球的运动周期相等
B．甲图中两小球的线速度大小相等
C．乙图中两个小球的线速度大小相等
D．乙图中两个小球的角速度大小相等
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3．找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4．利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r。
5．解方程求出待求物理量。
拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度
1．向心加速度的方向
第一步，画出物体经过A、B两点时的速度方向，如图甲所示。
第二步，平移vA至B点，如图乙所示。
第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。
第四步，假设由A到B的时间极短，A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。
从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
2．向心加速度的大小
由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ
角所对的弦和弧的长度就近似相等。
因此，θ＝eq \f(Δv,v)，由角速度定义知：θ＝ωΔt，可得：Δv＝vωΔt
根据加速度定义式a＝eq \f(Δv,Δt)，由v＝ωr
向心加速度大小的表达式为an＝ω2r，an＝eq \f(v2,r)。
3 向心加速度
[学习目标]
1.理解向心加速度的概念(重点)。
2.掌握向心加速度和线速度、角速度的关系，能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题(重难点)。
一、对向心加速度的理解
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案 (1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2．方向：始终指向圆心。
3．作用：改变速度的方向，不改变速度的大小。
4．物理意义：描述速度方向变化的快慢。
5．说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速曲线运动。
6．变速圆周运动：变速圆周运动的加速度不指向圆心；可分解为向心加速度和切向加速度分析。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小。
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。( × )
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。( × )
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心。( × )
(4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。( √ )
二、向心加速度的大小
1．向心加速度公式
(1)an＝eq \f(v2,r)＝ω2r。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv。
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2f2r。
2．向心加速度与半径的关系(如图所示)
3．向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。
(1)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变。( √ )
(2)由an＝eq \f(4π2,T2)r知，向心加速度an与半径r成正比。( × )
例1 自行车靠一条链子将两个齿轮连接起来，一辆自行车的齿轮转动示意图如图所示，O1、O2是自行车的两个转动齿轮1和2的中心，A和B分别是齿轮1和齿轮2边缘上一点，其中齿轮1上有一点C，C点到齿轮1中心O1的距离为齿轮1半径的一半，则( )
A．A点和B点的线速度相同
B．B点和C点的向心加速度相等
C．B点和C点的向心加速度之比为4∶1
D．B点和C点的线速度大小之比为2∶1
答案 D
解析 A点和B点是链条传动，线速度大小相等，方向不同，故A错误；A点和C点是同轴转动，角速度相同，即ωA＝ωC，根据v＝ωr，可得eq \f(vA,vC)＝eq \f(rω,\f(1,2)rω)＝eq \f(2,1)，因为vA＝vB，所以vB：vC＝2∶1，故D正确；因为两齿轮的半径关系未知，无法比较B、C两点向心加速度的大小，故B、C错误。
例2 (2022·扬州市邵伯高级中学高一月考)2022年2月，北京冬奥会上，中国选手夺得双人花样滑冰运动冠军。如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为0.5 r/s，女运动员触地冰鞋的线速度为1.5π m/s，(设π2＝10)求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度ω；
(2)触地冰鞋做圆周运动的半径r；
(3)触地冰鞋向心加速度a向的大小。
答案 (1)π rad/s (2)1.5 m (3)15 m/s2
解析 (1)女运动员做圆周运动的角速度
ω＝2πn＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s
(2)根据v＝ωr得r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(1.5π,π) m＝1.5 m
(3)根据向心加速度公式得a向＝ω2r＝π2×1.5 m/s2＝15 m/s2。
三、圆周运动的动力学问题分析
例3 长为L的细线，下端拴一质量为m的小球，上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线与竖直方向成θ角时，求：(重力加速度为g)
(1)细线上的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小和角速度的大小。
答案 (1)eq \f(mg,cs θ) (2)eq \r(gLsin θtan θ) eq \r(\f(g,Lcs θ))
解析 (1)小球受重力及细线的拉力的作用，如图所示，
由平衡条件可知，竖直方向：
FTcs θ＝mg，
故拉力FT＝eq \f(mg,cs θ)。
(2)小球做匀速圆周运动的半径r＝Lsin θ，向心力Fn＝FTsin θ＝mgtan θ，又Fn＝meq \f(v2,r)，
故小球的线速度大小v＝eq \r(gLsin θtan θ)。
由Fn＝mrω2
联立解得ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))。
思考：从上面角速度大小的结果中我们可以看出做圆锥摆运动的小球的角速度ω与什么因素有关？
答案 与圆心到绳上端的高度有关。
例4 甲图是两个圆锥摆，两摆球运动轨道在同一个水平面内，乙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．甲图中两小球的运动周期相等
B．甲图中两小球的线速度大小相等
C．乙图中两个小球的线速度大小相等
D．乙图中两个小球的角速度大小相等
答案 A
解析 设题图甲中做圆锥摆运动的其中一个小球对应摆绳与竖直方向的夹角为θ，摆球与悬点的高度差为h，线速度大小为v，周期为T，
根据牛顿第二定律有mgtan θ＝meq \f(v2,htan θ)＝meq \f(4π2,T2)htan θ
解得v＝tan θeq \r(gh)
T＝2πeq \r(\f(h,g))
由此可知题图甲中两小球的线速度大小不相等，周期相等，A正确，B错误；设题图乙中倒圆锥母线与竖直方向夹角为α，由牛顿第二定律可得
eq \f(mg,tan α)＝meq \f(v′2,r)＝mrω′2
解得v′＝eq \r(\f(gr,tan α))，ω′＝eq \r(\f(g,rtan α))
两球运动的轨道半径不同，故线速度、角速度大小均不同，C、D错误。
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3．找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
4．利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r。
5．解方程求出待求物理量。
拓展学习：用运动学方法分析匀速圆周运动向心加速度
1．向心加速度的方向
第一步，画出物体经过A、B两点时的速度方向，如图甲所示。
第二步，平移vA至B点，如图乙所示。
第三步，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，如图丙所示。
第四步，假设由A到B的时间极短，A到B的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。
从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
2．向心加速度的大小
由图丁可知，当Δt足够小时，θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。
因此，θ＝eq \f(Δv,v)，由角速度定义知：θ＝ωΔt，可得：Δv＝vωΔt
根据加速度定义式a＝eq \f(Δv,Δt)，由v＝ωr
向心加速度大小的表达式为an＝ω2r，an＝eq \f(v2,r)。