人教版 (2019)必修 第二册3 向心加速度优秀表格教案

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做曲线运动的物体速度一定是变化的，因此做曲线运动的物体，一定有加速度，圆周运动是曲线运动，那么做圆周运动的物体，加速度的大小和方向如何确定呢？

——这就是我们今天要研究的课题。

讲授新课

一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向

1．向心加速度的方向：总是指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。

物体做匀速圆周运动时，合力的方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同，即：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心。

物体做匀速圆周运动时，合力的方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同，即：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心。

2．向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。

3．向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响。

注意：无论an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动

二、向心加速度的大小

1．向心加速度表达式

思考讨论：由向心力的表达式，你能推导出向心加速度表达式吗？

由向心力：Fn=m或Fn=mrω2

根据牛顿第二定律F＝ma，得

an=或an=rω2

注意：向心加速度的公式适用于任何圆周运动。

2．向心加速度的各种表达式

由匀速圆周运动向心加速度的基本公式，结合各物理量间的关系，你能推导出匀速圆周运动向心加速度的几种表达形式？

由an=rω2   an=    v=ωr

ω=2π/T=2πf=2πn得

an=vω    an=（）2r    an=（2πf）2r

an=（2πn）2r

思考与讨论：从公式an＝v2/r看，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an＝ω2r看，角速度一定时，向心加速度与半径成正比。

自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图所示。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释。

B、C两点在同一轮上，同轴传动时，这两点的角速度相同，由公式

an＝ω2r知ω一定时，向心加速度与半径成正比。

A、B两点在同一个链条上，两点的线速度大小相同，由an＝v2/r知v一定时，向心加速度与半径成反比。

1．向心加速度的方向

（1）一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为vA、vB，画出物体经过A、B两点时的速度方向。

（2）平移vA至B点，根据矢量运算法则，做出物体由A点到B点的速度变化量Δv。

由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大小相等，所以，Δv与vA、vB构成等腰三角形。

（3）假设由A点到B点的时间逐渐减小直到极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的Δv。

Δv逐渐趋向于平行OA

A点到B点的时间极短时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。

2．向心加速度的大小

推导向心加速度公式

由图可知，当Δt足够小时，vA、vB的夹角θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。因此，θ＝v\Δv，在Δt时间内，速度方向变化的角度θ＝ωΔt。由此可以求得：

Δv＝vωΔt

将此式代入加速度定义式a＝Δv\Δt，并把v＝ωr代入，可以导出向心加速度大小的表达式为

an＝ω2r

上式也可以写成an＝v2/r

它与根据牛顿第二定律得到的结果是一致的。

补充练习

1．汽车驶过一座半径为r的圆形拱桥，当它到达桥顶时速度为v，此时汽车的向心加速度a为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

汽车的向心加速度

故选B。

2．匀速圆周运动中可以描述质点位置变化快慢和方向的物理量是（　　）

A．转速 B．角速度 C．线速度 D．向心加速度

【答案】C

描述质点位置变化快慢和方向的物理量是速度，在匀速圆周运动中指的是线速度，故ABD错误，C正确。

故选C。

3．闹钟是带有闹时装置的钟，既能指示时间，又能按人们预定的时刻发出音响信号或其他信号，闹钟的机芯结构主要有机械式和石英电子式两大类。如图所示，机械式闹钟中的三个齿轮的半径之比为。 当齿轮转动的时候。小齿轮边缘的M点和大齿轮边缘的N点的角速度大小之比和向心加速度大小之比分别为（　　）

A．5：1        1：5 B．5：1       5：1 C．1：5       1：5 D．1：1       5：1

【答案】B

由三齿轮间的位置关系可知

根据

可得

根据

可得

故选B。

4．描述匀速圆周运动的物理量有线速度v、角速度、向心加速度a、转速n和周期T等，下列说法正确的是（　　）

A．由公式可知，a与r成反比 B．由公式可知，a与r成正比

C．由公式可知，v与成正比 D．由可知，与h成正比

【答案】D

A．由公式

可知，当线速度一定时，a与r成反比，故A错误；

B．由公式

可知，当角速度一定时，a与r成正比，故B错误；

C．由公式

可知，当半径一定时，v与成正比，故C错误；

D．由

可知，是恒量，与h成正比，故D正确。

故选D。

5．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图，其半径分别为、、，若甲轮的角速度为，则丙轮边缘上某点的向心加速度为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

若甲轮的角速度为，甲轮边缘上某点的线速度为，则丙轮边缘上某点的线速度为

向心加速度为

故A正确。

6．2022年2月19日，北京冬奥会花样滑冰双人滑自由滑比赛在首都体育馆举行，中国选手隋文静/韩聪夺得双人滑冠军。如图所示，甲运动员以自己为转动轴拉着乙运动员做圆周运动。关于运动员做圆周运动的向心力、向心加速度，下列说法正确的是（　　）

A．运动员做匀速圆周运动时，其向心加速度时刻在改变

B．运动员向心加速度越大，其速率变化越快

C．向心力不改变速度的大小，只改变速度的方向

D．向心力可以同时改变速度的大小和方向

【答案】AC

A．匀速圆周运动中，向心加速度大小不变，方向指向圆心，时刻在改变，A正确；

B．向心加速度和向心力始终指向圆心，与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，B错误；

CD．做圆周运动的物体，向心加速度和向心力始终指向圆心，与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，C正确，D错误。

故选AC。

7．如图所示，一个小球绕圆心O做匀速圆周运动。已知圆周半径为r，小球运动的角速度为，则它运动的线速度大小为________，向心加速度大小为___________。

【答案】         

小球运动的线速度大小为

向心加速度大小为

8．在长0.5m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为________，向心加速度为________。

【答案】     1.2rad/s     0.72m/s2

小球运动的角速度为

向心加速度为

9．在长0.2m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为___________,向心加速度为______.

【答案】     3rad/s     1.8m/s2

角速度为：，向心加速度为：．

10．A、B两质点分别做匀速圆周运动，若相同时间内它们通过的弧长之比SA/SB=3/2，而通过的角度之比фA/фB=2/3，则它们的线速度之比A: B=________，角速度之比ωA:ωB=_________，向心加速度之比aA:aB=__________．

【答案】     3:2     2:3     1:1

在相同时间内，它们通过的弧长之比sA：sB=3：2，由公式可知，线速度之比vA：vB=sA：sB=3：2；在相同时间内，转过的角度之比，由公式，可知角速度之比ωA：ωB=2:3；根据可知：．

11．某物体做匀速圆周运动的周期为，半径为，计算结果保留3位有效数字，求：

(1)角速度的大小；

(2)线速度的大小；

(3)向心加速度的大小

【答案】(1)；(2)；(3)

(1)根据

得

(2)线速度的大小

(3)向心加速度的大小

12．一般飞行员能承受的最大向心加速度的大小约为6g。在飞行表演中，飞机某次水平转弯时，可视为在水平面内做匀速圆周运动。若飞机以150m/s的速度飞行，在该次水平转弯过程中向心加速度为6g，取重力加速度g=9.8m/s2，飞机水平转弯半径至少为多少?

【答案】382.7m

由题意可知

，

由

得

课堂小结

1．做匀速圆周运动的物体，其向心加速度的方向沿半径指向圆心，方向时刻变化，匀速圆周运动为变加速曲线运动。

2．向心加速度只改变做圆周运动的物体的速度方向，而切向加速度改变做圆周运动的物体的速度大小。

an=  an=rω2

an=（）2r  an=（2πf）2r

3．向心加速度意义：描述速度方向变化的快慢的物理量。

板书

一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向

1．方向：总指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。

2．向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。

3．物理意义：向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。

二、向心加速度的大小

an=   an=rω2

an=（）2r  an=（2πf）2r