第19讲 三次函数的图象和性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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三、典题精讲 PAGEREF _Tc232714047 \h 2
考点一：三次函数的单调性问题 PAGEREF _Tc232714048 \h 2
考点二：三次函数的最值、极值问题 PAGEREF _Tc232714049 \h 4
考点三：三次函数的切线问题 PAGEREF _Tc232714050 \h 5
考点四：三次函数的对称问题 PAGEREF _Tc232714051 \h 7
考点五：三次函数的零点问题 PAGEREF _Tc232714052 \h 9
考点六：三次函数的综合问题 PAGEREF _Tc232714053 \h 11
四、高考真题 PAGEREF _Tc232714054 \h 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，三次函数的图象和性质考查了一次.题目以多选题形式出现，综合性较强，要求学生能够熟练运用导数工具分析三次函数的关键特征.
2. 命题角度与特色
核心考点：三次函数的单调性、极值点以及图象的几何特征.
命题趋势：常以多选题形式出现，结合导数工具对三次函数的图象走势、极值点分布及函数值大小比较进行综合考查.
试题特点：注重数形结合思想的应用，要求学生能够熟练通过导数获取三次函数的关键特征，并能灵活运用其图象进行分析.
3. 备考策略
· 熟练掌握利用导数研究三次函数单调性与极值的基本方法.
· 强化数形结合意识，能够根据解析式快速画出三次函数的草图并分析其性质.
· 注意总结三次函数图象的对称性及极值点分布规律，提高解题速度.
二、知识清单
设三次函数为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R且a≠0)，其性质有：
1.基本性质：
① 定义域为R.
② 值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.
③ 单调性和图象：
2. 三次方程f(x)=0的实根个数
设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，其导函数为二次函数：f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)，判别式为：Δ=4b2−12ac=4(b2−3ac)，设f'(x)=0的两根为x1,x2，结合函数草图易得：
① 若b2−3ac≤0，则f(x)=0恰有一个实根.
② 若b2−3ac>0，且f(x1)⋅f(x2)>0，则f(x)=0恰有一个实根.
③ 若b2−3ac>0，且f(x1)⋅f(x2)=0，则f(x)=0有两个不相等的实根.
④ 若b2−3ac>0，且f(x1)⋅f(x2)0，且f(x1)⋅f(x2)>0）.
· f(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b2−3ac>0，且f(x1)⋅f(x2)=0.
· f(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有三个公共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b2−3ac>0且f(x1)⋅f(x2)0在[0,+∞)上有解.又f'(x)是对称轴为x=1的二次函数，所以f'(x)在[0,+∞)上的最大值大于0.而f'(x)的最大值为f'（1）=1+2a，∴1+2a>0，解得：a>−12.
（2）G(x)=f(x)−g(x)=−13x3+12x2+2ax+4，∴G'(x)=−x2+x+2a.由G'(x)=0得：x1=1−1+8a2，x2=1+1+8a2.则G(x)在(−∞,x1)，(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增.又∵当00，满足q2+4p3≥0，故A正确；若方程有两个实数根，则f(−−p)=0或f(−p)=0，得q2+4p3=0q0，满足q2+4p3=0，故B正确；若方程有三个实数根，则f(−−p)>0且f(−p)2p−p且qα1>0，即f'(x)=0有两个不等实根，−2b3a=α1+α2>0，c3a=α1α2>0，因此b0.所以a>0,b0,d>0.
考法16：综合判断三次函数的性质
例16.（2025·江西·3月联考）（多选）已知函数f(x)=x3−3x2−10x，则下列说法正确的是（ ）
A. f(x)有3个零点
B. f(x)的图象关于点(1,−24)对称
C. f(x)既有极大值又有极小值
D. 经过点(−2,0)且与f(x)的图象相切的直线有2条
【答案】ACD
【解析】f(x)=x3−3x2−10x=x(x−5)(x+2)，令f(x)=0，得x=0,x=−2,x=5，所以f(x)有3个零点，A正确.因为三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象关于点−b3a,f−b3a对称，所以f(x)的图象关于点(1,−12)对称，B错误.f'(x)=3x2−6x−10，令3x2−6x−10=0，Δ>0，记方程的两个根为x1,x2(x1