第27讲 三角函数的图像与性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第27讲 三角函数的图像与性质 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共10页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc233047184 \h 5
考点一：三角函数的图像与变换 PAGEREF _Tc233047185 \h 5
考点二：根据条件确定解析式 PAGEREF _Tc233047186 \h 9
考点三：三角函数的定义域、值域与最值 PAGEREF _Tc233047187 \h 12
考点四：三角函数的周期性 PAGEREF _Tc233047188 \h 14
考点五：三角函数的奇偶性与对称性 PAGEREF _Tc233047189 \h 15
考点六：三角函数的单调性 PAGEREF _Tc233047190 \h 18
考点七：三角函数性质的综合与应用 PAGEREF _Tc233047191 \h 19
四、高考真题 PAGEREF _Tc233047192 \h 22
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对三角函数的图像与性质考查较为频繁，每年均有直接考察.题型涵盖单选题、填空题和解答题，分值在5分至22分之间波动，既有基础性质的考查，也有作为压轴题的综合应用.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查三角函数的图像特征（如交点个数）、基本性质（如对称中心、奇偶性、单调性）以及在特定区间上的最值问题.
（2） 命题趋势：基础题型多以正弦型或正切型函数的性质为主，强调对周期、对称性和单调区间的熟练掌握；解答题则倾向于将三角函数与不等式恒成立、导数等知识结合，综合性强.
（3） 试题特点：数形结合思想贯穿始终.无论是判断图像交点个数，还是处理三角不等式，都需要借助三角函数的图像特征进行直观分析与严密推导.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质，能够准确求出复杂三角函数的周期、对称轴、对称中心及单调区间.
（2） 强化数形结合能力，在处理三角函数方程的根、图像交点个数等问题时，养成画草图辅助分析的习惯.
（3） 针对解答题中的三角函数综合问题，需提升代数变形能力，熟练运用三角恒等变换公式，并结合导数工具处理复杂的最值与恒成立问题.
二、知识清单
1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1） 在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2,1)，(π,0)，(3π2,−1)，(2π,0).
（2） 在余弦函数y=csx,x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2,0)，(π,−1)，(3π2,0)，(2π,1).
2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中k∈Z）
① 正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是T2；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是T2.
② 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离是T4.
【易错提醒】 正切函数y=tanx的图象只有对称中心，没有对称轴.其对称中心不仅包括与x轴的交点(kπ,0)，还包括渐近线与x轴的交点(π2+kπ,0)，统一表示为(kπ2,0).
3. y=Asin(ωx+φ)与y=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与性质
（1） 最小正周期：T=2πω.
（2） 定义域与值域：y=Asin(ωx+φ)，y=Acs(ωx+φ)的定义域为R，值域为[−A,A].
（3） 最值（假设A>0,ω>0）：
① 对于y=Asin(ωx+φ)，当ωx+φ=π2+2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A；当ωx+φ=−π2+2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值−A.
② 对于y=Acs(ωx+φ)，当ωx+φ=2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A；当ωx+φ=2kπ+π(k∈Z)时，函数取得最小值−A.
（4） 对称轴与对称中心（假设A>0,ω>0）：
① 对于y=Asin(ωx+φ)，当ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)，即sin(ωx+φ)=±1时，y=sin(ωx+φ)的对称轴为x=x0；当ωx+φ=kπ(k∈Z)，即sin(ωx+φ)=0时，y=sin(ωx+φ)的对称中心为(x0,0).
② 对于y=Acs(ωx+φ)，当ωx+φ=kπ(k∈Z)，即cs(ωx+φ)=±1时，y=cs(ωx+φ)的对称轴为x=x0；当ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)，即cs(ωx+φ)=0时，y=cs(ωx+φ)的对称中心为(x0,0).
③ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置.
（5） 单调性（假设A>0,ω>0）：
① 对于y=Asin(ωx+φ)，ωx+φ∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)⇒ 增区间；ωx+φ∈[π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈Z)⇒ 减区间.
② 对于y=Acs(ωx+φ)，ωx+φ∈[−π+2kπ,2kπ](k∈Z)⇒ 增区间；ωx+φ∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)⇒ 减区间.
【防坑警示】若ω0，得ω=1，经检验，当ω=1时，f(x)的部分图象可以如选项A所示.对于选项D，由T=π，得ω2=2πT=2，即ω=±2，则f(x)=±2sin(2x−π6)+1，此时f(π)≠0，排除D.对于选项C，由2T=π，得T=π2，ω2=2πT=4，即ω=±2，当ω=2时，f(x)的部分图象可以如选项C所示.对于选项B，当ω=0时，f(x)=1，f(x)的部分图象可以如选项B所示.
【规律】处理含参三角函数图象识别问题，通常采用“特征点代入法”或“周期最值反推法”.先观察图象的最高点、最低点确定振幅和纵向平移量，再通过相邻零点或极值点的距离确定周期，最后利用图象经过的特殊点求出初相或验证参数.
考法2：三角函数图像平移变换
例2.（2026·湖北十一校·3月二联）（多选）将函数f(x)=sin(2x+φ)|φ|