第21讲 三角函数的图象与性质-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第21讲 三角函数的图象与性质

1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

2．三角函数的周期性

(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．

(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．

(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．

3．三角函数的奇偶性

(1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；

(2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；

(3)函数是奇函数⇔()．

4．三角函数的对称性

(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；

(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；

(3)函数的图象的对称中心由)解得．

题型一：定义域、值域、最值

1．（2021·嘉峪关市第一中学高一期末）函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和 B．和2 C．和 D．和2

【答案】C

【详解】

，

的最小正周期为，最大值为.

故选：C.

2．（2021·全国高一课时练习）若，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

解得，

故选：C

3．（2021·兴仁市凤凰中学高一期末）函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

所以当时，取得最大值，

故选：C.

4．（2021·四川南充·（文））函数的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】C

【详解】

解：（其中），

所以当时，取最大值，

故选：C

5．（2021·张家口市宣化第一中学高一月考）当时，函数的最大值，最小值分别为（    ）

A．1，-1 B．2，-2 C．1， D．2，-1

【答案】D

【详解】

，又，

∴，即.

故选：D.

6．（2021·全国高一课时练习）函数，，则的范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

根据正弦函数图象可知在区间上，函数先增后减，

当时，，当时，.

故选：C．

7．（2021·全国高一课时练习）在上的最大值与最小值的和为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

当时，，

则当，即时，；当，即时，，

所以最大值和最小值的和为1.

故选：B.

8．（2021·河南商丘·高一月考）若函数的最大值为，则实数的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

依题意， ，

设锐角满足，则.

当时，函数的最大值为因此.

当时，函数的最大值为解得.

综上，实数的值为.

故选：B.

9．（2021·天水市第一中学高三月考（文））函数是（    ）

A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2

C．奇函数，且最大值为9 D．偶函数，且最大值为

【答案】D

【详解】

解：由题意得

又

当时，的最值为.

故选：D

10．（2021·江苏亭湖·盐城中学高一月考）函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

因为，所以．即值域为，

故选：C．

11．（2021·全国高一课时练习）函数的值域为，则以下不符合条件的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为值域为，当时，，

由对称性可知当时，，

由图象可知：，所以不符合条件，

故选：D.

12．（2021·石泉县石泉中学高二开学考试（文））已知函数在处取得最小值，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

∵函数在处取得最小值，

∴，∴，又

解得：

故选：D

13．（2021·全国高一课时练习）函数，的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，所以

因为在上单调递增，所以

即

故选：A

14．（2021·全国高一课时练习）函数y＝tan的定域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

，

，，

，，

函数的定义域是，

故选：.

15．（2021·陕西省洛南中学）函数的定义域是（　　　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：因为正切函数y＝tanx的定义域为{x|x≠kπ}，

所以由2x≠kπ，得{x|x}．

故选：C．

题型二：单调性

1．（2021·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

，

令.

所以.

所以函数的单调递增区间为.

故选：C

2．（2021·六安市裕安区新安中学高一期中）在区间上，下列说法正确的是（    ）

A．是增函数，且是减函数

B．是减函数，且是增函数

C．是增函数，且是增函数

D．是减函数，且是减函数

【答案】A

【详解】

由正余弦函数的图象可知，在区间上，是增函数，且是减函数，

故选：.

3．（2021·全国高一单元测试）函数的单调递减区间（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：由得≤≤（）得

≤≤，（）

≤≤，（）

所以函数的单调减区间为，

故选：D

4．（2021·上海）函数是增函数，则可以是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由得，

所以增区间为，

当时，增区间为.

故选：B

5．（2021·北京市第六十六中学高一期中）函数是（    ）

A．奇函数，且在区间上单调递增 B．奇函数，且在区间上单调递减

C．偶函数，且在区间上单调递增 D．偶函数，且在区间上单调递减

【答案】D

由题意，函数的定义域，且，

所以函数为偶函数，

又由余弦函数的性质，可得在区间为递减函数.

故选：D.

6．（2021·上海高一课时练习）使得不等式成立的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

由不等式，

根据正切函数的图象与性质，可得，

即实数x的取值范围是.

故选：C.

7．（2021·湖北高一期末）函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由，可得，所以函数的单调递增区间为，

故选C.

8．（2021·全国）在)内，使成立的的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．∪

【答案】D

【详解】

由tanx>1，可得.

再根据x∈(0，2π)，求得x∈∪，

故选：D.

9．（2021·深州长江中学）函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

根据正切函数性质可知，

当时，函数单调递增，

即，

故选：C.

题型三：奇偶性

1．（2021·陕西汉中·高三月考（文））下列函数中是偶函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

A：，故为奇函数；

B：，故为奇函数；

C：，故为偶函数；

D：，故为奇函数.

故选：C

2．（2021·陕西富平·高一期末）下列函数为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

A.函数的定义域为，满足，所以函数是偶函数，故错误；

B. 函数的定义域为，满足，所以函数是偶函数，故错误；

C. 函数的定义域为，满足，所以函数是奇函数，故正确；

D. 函数的定义域为，函数既不满足，也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故错误.

故选：C

3．（2021·云南昆明二十三中）函数是（    ）

A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数

【答案】A

【详解】

由题意得，

所以，故为奇函数，

周期，

故选：A

4．（2021·北京市第六十六中学高一期中）函数是（    ）

A．奇函数，且在区间上单调递增 B．奇函数，且在区间上单调递减

C．偶函数，且在区间上单调递增 D．偶函数，且在区间上单调递减

【答案】D

【详解】

由题意，函数的定义域，且，

所以函数为偶函数，

又由余弦函数的性质，可得在区间为递减函数.

故选：D.

5．（2021·全国高一单元测试）函数是（    ）

A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数

【答案】A

【详解】

，，所以函数最小正周期为，是偶函数，因此本题选A．

6．（2021·嘉峪关市第一中学（文））下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

A：的周期为，单调递减，不合要求；

B：的周期为，、单调递增，不合要求；

C：的周期为，单调递增，符合要求；

D：的周期为，不单调，不合要求；

故选：C.

7．（2021·全国高一课时练习）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于选项A：由于的周期为，故选项A不正确；

对于选项B：由于以为最小正周期，且在区间上为减函数，故选项B不正确；

对于选项C：故由于的周期为，故选项C不正确；

对于选项D：由于在区间上为增函数，故选项D不正确.

故选：B

8．（2021·广东江门·高一期末）下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间上单调递增的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：A. ，则是偶函数，

当时，为减函数，不满足条件.

B. 是偶函数，当时，为减函数，不满足条件.

C. ，则是偶函数，

当时，为减函数，不满足条件.

D. 是偶函数，当时，，为增函数，满足条件.

故选：D.

9．（2021·上海高一课时练习）同时满足条件：①在上是增函数；②以为最小正周期；③是奇函数的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：对于A，因为函数的最小正周期为，故A错误；

对于B，因为函数在上是减函数，且是上的偶函数，故B错误；

对于C，函数的单调增区间为，，是以为最小正周期的奇函数，故C正确；

对于D，因为函数在上是减函数，且最小正周期为，故D错误.

故选：C.

题型四：对称性

1．（2021·江西九江一中高一期中）函数图象的对称轴方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

的对称轴为，令，解得

.

故选：A.

2．（2021·北京市昌平区实验学校）函数图象的一条对称轴是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

对于A：将代入可得，故不是函数的对称轴，故选项A不正确；

对于B：将代入可得，故不是函数的对称轴，故选项B不正确；

对于C：将代入可得，故是函数的对称轴，

故选项C正确；

对于D：将代入可得，故不是函数的对称轴，故选项D不正确；

故选：C.

3．（2021·上海市嘉定区第一中学）给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴方程；函数的图象关于点成中心对称图形其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【详解】

解：对于①，因为（），，所以此函数是奇函数，所以①正确；

对于②，因为，所以②错误；

对于③，若，此时，所以③错误；

对于④，当时，，所以是函数的一条对称轴方程；当时，，所以函数的图象不关于点成中心对称图形，所以④错误，

故选：A

4．（2021·北京高二期末）函数的一条对称轴可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：因为，令，解得，即函数的对称轴为，当时，；

故选：C

5．（2021·全国高一课时练习）函数的图象（    ）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称

【答案】B

【详解】

可得是由向上平移1个单位得到，

根据余弦函数的性质可得的图象关于轴对称.

故选：B.

6．（2021·北京丰台·高一期中）函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

函数的最小正周期是，因此相邻两条对称轴之间的距离是．

故选：C．

7．（2021·全国高一课时练习）函数的图象（    ）

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

【答案】D

【详解】

由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；

由余弦函数的对称轴为，令，得，，

当时，，易知C错误，D正确；

故选：D

8．（2021·湖北十堰·高一期末）函数图象的一条对称轴可能是直线（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

令，解得.

当时，.

故选：A.

9．（2021·山东威海·高一期末）如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意，，则，解得，

∴当时，的最小值为.

故选：B

10．（2021·吉林高三模拟预测（理））函数图象的对称中心是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

令，解得，则图象的对称中心为．

故选：D.

11．（2021·全国）函数的图像的对称中心为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：根据正切函数的对称中心是，

令，解得，；

所以函数的图像的对称中心为

故选：D

12．（2021·全国高三专题练习（文））函数的一个对称中心是（    ）

A．(0，0) B．(，0)

C．(，0) D．以上选项都不对

【答案】C

【详解】

解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；

令3x+=，解得，k∈Z；

所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；

当k=3时,C正确，

故选：C.

13．（2021·全国高一课时练习）函数的一个对称中心是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

函数中，

令，；

解得，；

所以时，的一个对称中心是，．

故选：A．

14．（2021·上海高一课时练习）函数图象的对称中心是（    ）

A．                     B． 

C． D．

【答案】D

【详解】

因为正切函数的对称中心为，

由可得，

因此，函数图象的对称中心是.

故选：D.