第三章 微专题四 三次函数的图象与性质 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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　　三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的定义域为R，值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值；f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，其判别式Δ＝4b2－12ac.
〔一题多解〕〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷11题）设函数f（x）＝2x3－3ax2＋1，则（　　）
解析： 　因为f（x）＝2x3－3ax2＋1，所以f'（x）＝6x2－6ax＝6x（x－a）.对于选项A，令f'（x）＞0，则x＞a或x＜0；令f'（x）＜0，则0＜x＜a.所以f（x）在（－∞，0）和（a，＋∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减.又因为f（0）＝1，f（a）＝2a3－3a3＋1＝1－a3＜0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以f（x）的大致图象如图，所以f（x）有三个零点，故选项A正确；对于选项B，令f'（x）＞0，则x＜a或x＞0；令f'（x）＜0，则a＜x＜0.所以x＝0是f（x）的极小值点，故选项B错误；对于选项C，法一　三次函数为中心对称函数，其图象无对称轴，故选项C错误；法二　当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→－∞时，f（x）→－∞，故曲线y＝f（x）必不存在对称轴，C错误；对于选项D，法一（排除法）　由于是多项选择题A正确，B、C错误，则D一定正确.
1. （2026·湖南长沙模拟）已知f（x）＝x3＋3x2＋6x＋14，且f（m）＝1，f（n）＝19，则m＋n＝（　　）
2. （2026·广西南宁质检）设ab≠0，若a为函数f（x）＝a（x－a）2（x－b）的极大值点，则（　　）
解析： 　由三次函数的性质可知，要使a为函数f（x）＝a（x－a）2（x－b）的极大值点，则当a＞0时，函数f（x）的大致图象如图1所示，则0＜a＜b，此时ab＜b2；当a＜0时，函数f（x）的大致图象如图2所示，则b＜a＜0，此时ab＜b2.综上，ab＜b2.
3. 〔多选〕（2026·山东临沂模拟）设函数f（x）＝x3－3x－2，则（　　）
解析： 　令f'（x）＝3x2－3＝0，解得x＝±1，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示.