第03讲 三角函数的图像与性质（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份第03讲 三角函数的图像与性质（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共9页。
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质
知识点2 函数y=Asin⁡(ωx+φ)的图像与性质
知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展
题型破译
\l "_题型1__三角函数的图像识别与判断" 题型1 三角函数的图像识别与判断
【方法技巧】
【易错分析】
\l "_题型2__三角函数的定义域与值域（最值）"题型2 三角函数的定义域与值域（最值）
【方法技巧】
【易错分析】
\l "_题型3__三角函数的单调性与单调区间" 题型3 三角函数的单调性与单调区间
【方法技巧】
【易错分析】
\l "题型4 三角函数的奇偶性、周期性与对称性" 题型4 三角函数的周期性、周期性和与对称性
【方法技巧】
【易错分析】
\l "_题型5__三角函数的图像变换" 题型5 三角函数的图像变化
【方法技巧】
【易错分析】
\l "_题型6__三角函数性质的综合应用" 题型6 三角函数性质的综合应用
【方法技巧】
【易错分析】
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 正弦、余弦、正切函数的图像与基本性质
一、 三类函数的图像特征
1.正弦函数y=sin⁡x：图像为正弦曲线，定义域为R，值域为[−1,1]；五点法作图关键点：(0,0)、(π2,1)、(π,0)、(3π2,−1)、(2π,0)。
2.余弦函数y=cs⁡x：图像为余弦曲线，定义域为R，值域为[−1,1]；五点法作图关键点：(0,1)、(π2,0)、(π,−1)、(3π2,0)、(2π,1)。
3.正切函数y=tan⁡x：图像为正切曲线，定义域为，值域为R；渐近线为x=π2+kπ,,k∈Z。
二、 核心性质对比表
注意：
1.、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。
2.正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。
3.上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。
特别提醒，别忘了！
自主检测已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】结合正弦函数图象，根据题意列不等式计算即可求解.
【详解】因为，所以，
由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点，
则，且，解得且，
所以的取值范围为.
\l "_Tc25045"知识点2 函数y=Asin⁡(ωx+φ)的图像与性质
一、 参数的物理意义（A>0,,ω>0）
•振幅A：决定函数值域为[−A,A]，反映振动幅度；
•角频率ω：决定最小正周期T=2πω，反映振动快慢；
•初相φ：决定x=0时的相位，反映图像的左右位置；
•相位：ωx+φ。
二、 图像变换的两种路径
1.先平移后伸缩（相位变换→周期变换→振幅变换）
y=sin⁡x→左(右)平移|φ|单位y=sin⁡(x+φ)→横坐标缩为原来的1ωy=sin⁡(ωx+φ)→纵坐标伸为原来的A倍y=Asin⁡(ωx+φ)
2.先伸缩后平移（周期变换→相位变换→振幅变换）
y=sin⁡x→横坐标缩为原来的1ωy=sin⁡(ωx)→左(右)平移|φ|ω单位y=sin⁡(ωx+φ)→纵坐标伸为原来的A倍y=Asin⁡(ωx+φ)
⚠ 核心注意：左右平移的单位是针对自变量x本身，而非ωx；先伸缩再平移时，平移量为|φ|ω。
三、 性质求解（整体代换思想）
将ωx+φ视为整体，类比y=sin⁡t的性质求解：
1.周期：T=2π|ω|；
2.最值：ωx+φ=π2+2kπ时取最大值A，ωx+φ=−π2+2kπ时取最小值−A；
3.单调区间：解不等式−π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ得递增区间，反之得递减区间；
4.对称轴：令ωx+φ=π2+kπ，解得x即为对称轴方程；
5.对称中心：令ωx+φ=kπ，解得x，对称中心为(x,0)。
自主检测（2026·江苏无锡·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则_______．
【答案】
【详解】将函数的图象向左平移个单位，
得到，由于此函数的图象关于轴对称，
则，即，
又，则.
1. \l "_Tc25045"知识点3 三角函数奇偶性与对称性拓展
一、 奇偶性快速判断结论
•y=Asin⁡(ωx+φ)为奇函数 ⇔ φ=kπ,,k∈ℤ；
•y=Asin⁡(ωx+φ)为偶函数 ⇔ φ=π2+kπ,,k∈ℤ；
•y=Acs⁡(ωx+φ)为偶函数 ⇔ φ=kπ,,k∈ℤ；
•y=Acs⁡(ωx+φ)为奇函数 ⇔ φ=π2+kπ,,k∈ℤ。
二、 对称性常用结论
•正弦 / 余弦函数的对称轴必经过图像最高点或最低点；
•正弦 / 余弦函数的对称中心必为图像与x轴的交点；
•正切函数的对称中心包括图像与x轴交点，以及渐近线与x轴的交点。
自主检测（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案.
【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且满足，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项；
又由，可排除C选项，所以选项A符合题意.
题●型●破●译
题型1 三角函数的图像识别与判断
例1-1（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可．
【详解】由，，
可得，
所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D，
当时，可得，可排除选项B，
所以该函数的图象大致为选项A．
例1-2（2026·湖北黄冈·三模）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的图象，求得，结合，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得，解得，
又由，即，可得，
因为，可得，所以，
又因为，即，可得.
【变式训练1-1】（多选题）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数与的部分图象如图所示，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．若在上有9个零点，则
D．
【答案】ACD
【分析】由求导得，根据图像分和两种情况分析求出求得周期可判断A、B；由求得相邻两零点的距离，结合在上零点的个数求出的范围即可判断C；先由，得，再由及求得的值，进而通过诱导公式结合三角恒等变换求解即可判断D.
【详解】对于A，B，，若，则，得，
所以，又且，得，
此时，符合题意；
若，则，得，所以，
又，且，得，此时，
在其单调递减区间内，与图象不符，所以，最小正周期为，故A正确，B错误；
对于C，由得，所以相邻两零点的距离为，
因为在上有9个零点，所以，
即，故C正确；
对于D，由，得，
又由，且，
得，
所以
，故D正确．
【变式训练1-2】（多选题）（2026·广东·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的一个周期B．
C．D．若，则
【答案】AC
【分析】根据，确定函数的最小正周期，再判断A的真假；利用点坐标和点处函数的性质，可求出的值，判断B的真假；确定点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算，判断C的真假；利用二倍角公式，计算，可判断D的真假.
【详解】对于A：函数的最小正周期为，为函数的一个周期，选项A正确.
对于B：函数经过点，代入得，显然点位于图象的增区间上，()，又由于，则，，选项B错误.
对于C：由选项B：，，得，，得.
，，则，选项C正确.
对于D：若，即，则，选项D错误.
【变式训练1-3】（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值．
【详解】，振幅为，周期，
设点，则，，
，
，
解得，解得或（舍去），
，解得．
题型2 三角函数的定义域与值域（最值）
例2-1（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________.
【答案】
【分析】求出命题的否定对应的参数，其补集即所求.
【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得，
其否定为：存在，，使得，
若为真，由，得，
则，
所以且，
所以，得，
由上，若为真，则，即的取值范围是.
例2-2（2026·山西晋城·三模）已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】D
【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，可得，再根据正弦函数的性质求得时，，进而结合题设可得，进而求解即可.
【详解】，，
∵当时，，则，
，
若存在，使得成立，
只需，解得，
结合选项，实数的取值不可能是9．
方法技巧
1.定义域求解：结合三角函数本身定义域（正切、偶次根号、分母），解三角不等式，可借助图像或单位圆；
2.值域 / 最值常用方法：
① 化为y=Asin⁡(ωx+φ)+B，结合x的范围求相位范围，再求值域；
② 换元法：令t=sin⁡x（或cs⁡x），转化为二次函数在[−1,1]上的值域；
③ 几何法：利用斜率、距离等几何意义求解。
3.换元时务必标注新元的取值范围。
易错分析
1.解三角不等式时漏写k∈ℤ，或忽略定义域取交集；
2.换元后忽略t的范围，直接按全体实数求二次函数值域；
3.求区间最值时直接代入端点，忽略区间内的极值点。
【变式训练2-1·变考法】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合，实数的取值集合为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由满足条件的集合求，再由椭圆条件求，最后判断集合关系.
【详解】当时，，
此时的最小值为，所以，即．
若，此时能取到最小值，
即，代入可得，满足要求，即；
若取不到最小值，则需满足，即，
而在上单调递减，
所以存在唯一符合题意；所以集合.
由椭圆的焦点在轴上，得，
解得，所以实数的取值集合为，
则，即.
【变式训练2-2】（多选题）（2026·广西崇左·二模）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．的图象关于点对称D．在，上单调递减
【答案】ACD
【分析】根据正切函数的性质判断．
【详解】对AB，的定义域为，值域为，A正确，B错误.
对C，，所以的图象关于点对称，C正确.
对D，当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减.当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确.
【变式训练2-3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值.
(1)求的值及的取值范围；
(2)若，求函数图象的对称中心.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围.
（2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心.
【详解】（1）因为，，所以，
由于，则，即.
由可得，
又因在上有最大值，且无最小值，
根据正弦函数的图象可知，
解得，故的取值范围为.
（2）由结合（1）可知，则，
所以
.
令，，解得，，
则函数图象的对称中心为，.
题型3 三角函数的单调性与单调区间
例3-1（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以令，解得，
当时，单调递增区间为，
因为，
所以是函数的一个单调递增区间.
例3-2（多选题）（2026·河南驻马店·三模）已知函数的图象过点和点，则（ ）
A．在区间上单调递减
B．直线为图象的一条对称轴
C．将的图象向左平移个单位长度可得函数的图象
D．在区间上仅有两个零点
【答案】BC
【详解】代入点得，代入得，又因为，所以，函数解析式为.
选项A，，，因此不单调递减.
选项B，，，为对称轴.
选项C，向左平移得成立.
选项D，，，因为函数在上只有1个零点，因此只有1个零点.
方法技巧
1.求y=Asin⁡(ωx+φ)单调区间：用整体代换法，将ωx+φ代入基本函数单调区间解x；若ω