第20讲 极值点偏移 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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三、典题精练 PAGEREF _Tc232793730 \h 3
考点一：加法型极值点偏移 PAGEREF _Tc232793731 \h 3
考点二：减法型极值点偏移 PAGEREF _Tc232793732 \h 4
考点三：乘积型与比值型极值点偏移 PAGEREF _Tc232793733 \h 5
一、考情分析
近三年全国一卷未直接或间接考查本讲知识点.备考时建议将本讲作为基础储备掌握，重点熟练核心公式与基本题型即可，无需过多投入难题训练.
二、知识清单
1. 极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性.若函数f(x)在x=x0处取得极值，且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x1,b)，B(x2,b)两点，则AB的中点为Mx1+x22,b，而往往x0≠x1+x22.如下图所示.
极值点偏移的定义：对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，方程f(x)的解分别为x1、x2，且a0,x2>0,x0>0），等价于证明lnx1+lnx2>2lnx0.
三、典题精练
考点一：加法型极值点偏移
考法1：构造对称函数证明加法型极值点偏移
例1.（2026·山东济宁·三模）设函数f(x)=aln(x+1)+xe−x−1.
（1） 当a=1时，求f(x)在点(1,f（1）)处的切线方程；
（2） 若函数f(x)存在零点x1，且x1>0.
(ⅰ) 求实数a的取值范围；
(ⅱ) 设x0为f(x)的极值点，证明：2x0>x1.
例2.（2024·广东名校教研联盟·5月押题）已知函数f(x)=ex−a2x2，其中e为自然对数的底数，a∈R.
（1） 当a=1时，求f(x)的单调区间；
（2） 若f(x)存在两个不同的极值点x1,x2，且x12.
例3.（2025·杭州二中·阶段测试）已知函数f(x)=ex−e12(x+1)3，x∈[0,+∞).
（1） 求曲线f(x)在(1,f（1）)处的切线方程；
（2） 求f(x)在[0,+∞)上的单调区间；
（3） 若x1,x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)+f(x2)=2e3，求证：x1+x22.
考法2：结合对数平均不等式证明加法型极值点偏移
例5.（2026·山东名校联盟·5月评估）已知函数f(x)=4x−alnx−12x2−3(a∈R)，若f(x)恰有两个极值点x1,x2(x12x0，可构造F(x)=f(x)−f(2x0−x)，通过判断F(x)的单调性及符号，结合f(x)的单调性得出结论.处理极值点偏移问题时，若直接求解极值点困难，可利用极值点满足的导数方程消去参数，将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题.对于含有三角函数的极值点偏移问题，依然遵循“构造对称差函数”的通法.关键在于准确判断导函数的符号，确定原函数的单调区间，从而保证由函数值的不等关系能够等价转化为自变量的不等关系.
2. 对数平均不等式法：将极值点偏移问题转化为双变量不等式，通过代数变形分离变量，利用对数平均不等式x1−x2lnx1−lnx2c的平方型极值点偏移，常通过换元转化为一次型的极值点偏移.在证明过程中，若能分离出x1−x2lnx1−lnx2的形式，可直接应用对数平均不等式进行放缩，大大简化证明过程.
3. 切线放缩法：利用函数在某点处的切线作为放缩的桥梁，将复杂的超越函数转化为一次函数或二次函数进行证明.极值点偏移问题常与切线、零点等综合考查，利用函数的对称性可以快速得到零点之间的乘积关系.在处理切线交点问题时，将切线方程写出并令x=0，比较纵坐标是否相等是常规思路.
4. 整体代换法：当极值点是二次方程的根时，优先考虑使用韦达定理整体代换，将双变量的对称式转化为关于参数的单变量表达式，从而将极值点偏移问题转化为常规的函数最值证明问题.当题目给出f(x1)+f(x2)=2f(x0)的形式时，可直接构造对称差函数F(x)=f(x)+f(2x0−x)−2f(x0).
考点二：减法型极值点偏移
考法4：构造函数证明减法型极值点偏移
例8.（2026·安徽江淮十校·4月模拟）已知函数g(x)=ex−ax−2a−1x,a∈R.
（1） 若g(x)仅有一个零点时，求a的取值范围；
（2） 函数f(x)=x⋅g(x)，且a>12e.
(ⅰ) 讨论f(x)的单调性；
(ⅱ) 若存在x1